备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第8节 曲线与方程

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第8节 曲线与方程，共13页。试卷主要包含了求动点的轨迹方程的基本步骤，方程－1)＝0表示的曲线是，曲线C等内容，欢迎下载使用。
第8节　曲线与方程
考试要求　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.


1.曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤


1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.
2.曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(　　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　　)
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
解析　对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误.
2.(2022·郑州调研)已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
答案　C
解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以A，B，D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.
3.(2021·广州调研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A.两条直线
B.两条射线
C.两条线段
D.一条直线和一条射线
答案　D
解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
4.(易错题)已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________.
答案　x2＋y2＝4(x≠±2)
解析　由题意可知，P点的轨迹是以原点为圆心，以MN为直径并且去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2).
5.(易错题)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是_______________.
答案　以为圆心，为半径的圆
6.(2021·银川质检)曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________.
答案　2
解析　在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.

考点一　直接法求轨迹方程
1.(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A，B是两个定点，C是动点.若·＝1，则点C的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案　A
解析　以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设点A，B分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，点C为(x，y)，
则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，
所以·＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆.故选A.
2.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.则动点P的轨迹方程为________________.
答案　x2＋3y2＝4(x≠±1)
解析　因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1).
设点P的坐标为(x，y)，
由题意得·＝－，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1) .
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).
3.已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是________.
答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，
则＝2，
整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
感悟提升　利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.
(2)运用直接法应注意的问题：①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.
考点二　定义法求轨迹方程
例1 已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹方程.
解　由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，
且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，
所以点M的轨迹方程为＋＝1.
感悟提升　定义法求曲线方程的两种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解.
训练1 在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶点A的轨迹方程为________.
答案　－＝1(x>)
解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，E，F分别为两个切点.

则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|，
所以|AB|－|AC|＝2).
考点三　相关点(代入)法求轨迹方程
例2 (1)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是________.
(2)设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为________.
答案　(1)(2x－3)2＋4y2＝1　(2)y2＝4x
解析　(1)设中点M(x，y)，
由中点坐标公式，可得A(2x－3，2y)，
因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
(2)设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，
⊥，＝(x0，－y0)，
＝(1，－y0)，
所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，
所以x0＋y＝0.
由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
所以即
所以－x＋＝0，即y2＝4x.
故所求点N的轨迹方程是y2＝4x.
感悟提升　“相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.
训练2 如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1