备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第六章 数列 第2节 等差数列及其前n项和

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第2节　等差数列及其前n项和
考试要求　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.


1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.

1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.
2.(2022·南宁一模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则数列{an}的通项公式an＝(　　)
A.n B.
C.2n－1 D.
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋d＝3＋3d＝，解得d＝，∴an＝1＋(n－1)×＝.
3.(2021·宝鸡二模)已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为(　　)
A.36 B.24 C.16 D.12
答案　D
解析　由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝＝＝12.
4.在等差数列{an}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝(　　)
A.10 B.20 C.25 D.30
答案　C
解析　等差数列{an}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.
5.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面.
答案　20
解析　设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.
所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
6.(易错题)在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________.
答案　5或6
解析　∵|a3|＝|a9|，
∴|a1＋2d|＝|a1＋8d|，
可得a1＝－5d，∴a6＝a1＋5d＝0，
且a1＞0，∴a5＞0，
故Sn取最大值时n的值为5或6.

考点一　等差数列的基本运算
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A.an＝2n－5 B.an＝3n－10
C.Sn＝2n2－8n D.Sn＝n2－2n
答案　A
解析　设首项为a1，公差为d.
由S4＝0，a5＝5可得
解得
所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.
2.(2022·太原调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝a8＝8，则公差d＝(　　)
A. B. C.1 D.2
答案　D
解析　∵S8＝a8＝8，
∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，
∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.
∴d＝＝2.
3.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.
答案　25
解析　设等差数列{an}的公差为d，
则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.
解得d＝1.
所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
4.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5.
(1)若 a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围.
解　(1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5可知9a5＝－a5，所以a5＝0.
因为a3＝4，所以d＝＝＝－2，
所以an＝a3＋(n－3)×(－2)＝10－2n，
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a5＝0，
因为a1>0，所以等差数列{an}单调递减，
即d