备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第3节 三角恒等变换第二课时 简单的三角恒等变换

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第3节 三角恒等变换第二课时 简单的三角恒等变换，共17页。试卷主要包含了eq \f·eq \f等于，化简等内容，欢迎下载使用。
第二课时　简单的三角恒等变换考点一　三角函数式的化简1.·等于(　　)A.－sin α    B.－cos αC.sin α    D.cos α答案　D解析　原式＝＝＝cos α.2.化简：2＋等于(　　)A.2cos 2    B.2sin 2C.4sin 2＋2cos 2    D.2sin 2＋4cos 2答案　B解析　2＋＝2＋＝2＋＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵<2<π，∴cos 2<0，∵sin 2＋cos 2＝sin，0<2＋<π，∴sin 2＋cos 2>0，∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.3.化简：(－tan )·＝________.答案　解析　(－tan )·(1＋tan α·tan )＝(－)·(1＋·)＝·＝·＝.感悟提升　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.考点二　三角函数式的求值角度1　给角求值例1 (1)的值为(　　)A.1   B.   C.   D.2(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.答案　(1)C　(2)－解析　(1)原式＝＝＝＝.(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.角度2　给值求值例2 (1)(2021·哈尔滨模拟)若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则的值为(　　)A.－3   B.－   C.   D.3(2)(2022·武汉检测)已知＝－，则cos＝(　　)A.   B.－   C.－   D.答案　(1)A　(2)B解析　(1)因为sin α＋cos α＝，所以sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，可得25sin2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝或－.又因为α∈(0，π)，所以sin α＝，所以cos α＝－＝－，则＝＝＝＝＝－3，故选A.(2)＝＝－2sin＝－，故sin＝.而sin＝sin＝cos＝，所以cos＝2cos2－1＝－1＝－.角度3　给值求角例3 (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.答案　(1)　(2)－解析　(1)∵0<β<α<，∴0<α－β<，sin α＝.又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.又0<β<，∴β＝.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，又α∈(0，π)，∴0<α<，又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.感悟提升　1.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.2.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.训练1 (1)(2021·许昌模拟)计算所得的结果为(　　)A.1   B.   C.   D.2(2)(2022·新高考五省五校联考)已知α∈，sin＝，则tan α＝________.(3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝______，2α－β＝______.答案　(1)C　(2)3＋2　(3)　解析　(1)＝＝＝，故选C.(2)∵α∈，∴α－∈，∵sin＝，∴cos＝，α－∈，则tan＝，则tan α＝tan＝＝3＋2.(3)因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.考点三　三角恒等变换的应用例4 已知函数f(x)＝sin＋·cos.(1)求函数f(x)在区间上的最值；(2)若cos θ＝，θ∈，求f(2θ＋)的值.解　(1)由题意得f(x)＝·sin＋cos＝×＝－·sin.因为x∈，所以x－∈，所以sin∈，所以－sin∈，即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.(2)因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，所以f＝－sin＝－·sin＝－(sin 2θ－cos 2θ)＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝.感悟提升　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.训练2 已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值.解　(1)因为f(x)＝(2cos 2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝.令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)因为f＝，所以sin＝1.又α∈(0，π)，所以－＜α－＜，所以α－＝，故α＝，因此tan＝＝＝2－.万能公式sin α＝，cos α＝，tan α＝.注意：(1)上述三个公式统称为万能公式.(2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了.例 已知＝－5，求3cos 2θ＋4sin 2θ的值.解　∵＝－5，∴cos θ≠0(否则2＝－5)，∴＝－5，解得tan θ＝2. ∴原式＝＋＝＋＝.1.(2021·揭阳一模)若sin＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)A.   B.   C.－   D.－答案　D解析　sin＝cos 2α＝，则sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝－.2.(2022·贵阳诊断)已知α∈(0，π)，2sin 2α＝cos 2α－1，则cos α＝(　　)A.   B.－   C.   D.－答案　B解析　∵2sin 2α＝cos 2α－1，∴4sin αcos α＝－2sin2α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，2cos α＝－sin α，∴cos α<0，结合sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝－.3.计算等于(　　)A.   B.－   C.   D.－答案　D解析　原式＝－·＝－tan ＝－×＝－.4.已知cos＝，则sin＝(　　)A.－   B.   C.   D.－答案　B解析　因为cos＝，所以sin＝－cos＝－cos＝1－2cos2＝.故选B.5.已知0<α<，－<β<0，cos(α－β)＝－，sin α＝，则sin β＝(　　)A.   B.－   C.   D.－答案　D解析　因为sin α＝，0<α<，所以cos α＝.因为－<β<0，0<α<，所以α－β∈(0，π)，所以sin(α－β)＝＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝－.故选D.6.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝，则tan α＝(　　)A.－3   B.3或   C.3   D.答案　C解析　因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos2α＋6sin αcos α＋9sin2 α＝10，所以＝10，所以＝10，所以tan α＝3.7.(2022·烟台模拟)已知α∈，若sin＝，则tan α的值为________.答案　解析　法一　∵sin＝cos 2α＝，α∈，∴sin α＝＝，cos α＝＝，∴tan α＝＝.法二　由法一得cos 2α＝＝，解得tan2α＝，又α∈，所以tan α＝.8.＝________.答案　－4解析　原式＝＝＝＝＝＝－4.9.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.答案　解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，所以β＝. 10.已知sin＝，α∈.求：(1)cos α的值；(2)sin的值.解　(1)sin＝，即sin αcos＋cos αsin ＝，化简得sin α＋cos α＝，①又sin 2α＋cos2α＝1，②由①②解得cos α＝－或cos α＝，因为α∈，所以cos α＝－.(2)由(1)知，sin α＝，则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，所以sin＝sin 2αcos－cos 2αsin ＝－.11.已知A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值.解　因为A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，所以cos A＝－＝－，cos B＝－＝－，所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝－×－×＝.又因为＜A＜π，＜B＜π，所以π＜A＋B＜2π，所以A＋B＝.12.(2021·郑州模拟)若tan α＞sin α＞sin 2α，则α的取值范围是(　　)A.    B.C.   D.答案　C解析　由tan α＞sin α，可得tan α－sin α＝－sin α＝＞0，由－＜α＜，可得0＜cos α≤1，则1－cos α≥0，可得sin α＞0，所以0＜α＜.由sin α＞sin 2α，可得sin α－sin 2α＝sin α－2sin αcos α＝sin α(1－2cos α)＞0，由0＜α＜，得sin α＞0，所以1－2cos α＞0，即cos α＜，所以＜α＜.故选C.13.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于________.答案　2解析　因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以＝＝＝＝＝2.14.已知0<α<<β<π，cos＝，sin＝.(1)求sin 2β的值；(2)求cos的值.解　(1)法一　因为cos＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，所以cos β＋sin β＝，所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.法二　sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)因为0<α<<β<π，所以<β－<π，<α＋β<.所以sin>0，cos(α＋β)<0，所以sin＝，cos(α＋β)＝－.所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.