备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节 二项式定理

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节 二项式定理，共13页。试卷主要包含了能用计数原理证明二项式定理；2，二项式系数的性质，各二项式系数和等内容，欢迎下载使用。
第3节　二项式定理
考试要求　1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.


1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　二项展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.
2.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)
A.C B.C
C.C D.(－1)m－1C
答案　D
解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.
3.(易错题)C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A.22 022 B.22 021
C.22 022－1 D.22 022＋1
答案　C
解析　C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)－1＝22 022－1.
4.(易错题)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N＋)是一个递增数列，则k的最大值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　由二项式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11).
又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，
所以a6＝C，则k的最大值为6.
5.(2021·北京卷)的展开式中常数项是________.
答案　－4
解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝
C(x3)4－k＝C(－1)kx12－4k(0≤k≤4，k∈N).令12－4k＝0，得k＝3，故展开式中的常数项为C(－1)3＝－4.
6.(2020·浙江卷)二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.
答案　80　122
解析　由题意，得a4＝C×24＝5×16＝80.
当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①
当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②
由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，
可得a1＋a3＋a5＝122.

考点一　通项公式及其应用
角度1　二项展开式问题
例1 (1)在的展开式中，有理项共有(　　)
A.3项 B.4项
C.5项 D.6项
(2)(2022·东北三省四市联合模拟)的展开式中常数项为________(用数字作答).
答案　(1)A　(2)－4
解析　(1)的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2)12－r·
＝C·212－r·x，r＝0，1，…，12，
当r＝0，6，12时，展开式为有理项，故有理项共有3项，故选A.
(2)法一　＝＝，其展开式的通项为
Tr＋1＝Cx4－r＝(－1)rCx4－4r，令4－4r＝0，解得r＝1，所以常数项为(－1)1C＝－4.
法二　(x4－1)4的展开式的通项为Tr＋1＝Cx4(4－r)(－1)r＝(－1)rCx16－4r，令16－4r＝12，得r＝1，所以常数项为T2＝C(－1)＝－4.
感悟提升　求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r，代回通项公式即可.
角度2　两个多项式积的展开式问题
例2 (1)(2022·豫南九校联考)在(2－x2)的展开式中，含x2的项的系数是(　　)
A.－10 B.10
C.25 D.－25
(2)(x＋y)5的展开式中，x3y3的系数为(　　)
A.3 B.5 C.15 D.20
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－rx－r＝Cx6－2r，所以含x2的项为2×
Cx6－2×2＋(－x2)Cx6－2×3＝30x2－20x2＝10x2，所以含x2的项的系数是10，故选B.
(2)(x＋y)5＝x(x＋y)5－(x＋y)5，(x＋y)5的展开式的通项为Cx5－ryr(r＝0，1，2，3，4，5)，
所以x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝10，(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝5，所以(x＋y)5的展开式中，x3y3的系数为10－5＝5，故选B.
角度3　三项展开式问题
例3 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.60
答案　C
解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.
∴x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30.
感悟提升　1.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.
2.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.
3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.
训练1 (1)(2021·昆明诊断)的展开式中x3的系数为________(用数字作答).
(2)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a等于(　　)
A.2 B.2 C.－2 D.－1
(3)(2021·信阳模拟)在(x2－2x－3)3的展开式中，含x2的项的系数是________.
答案　(1)40　(2)B　(3)－9
解析　(1)由二项式定理得二项展开式的通项Tr＋1＝C(2x2)5－r·＝25－rC·x10－r，令10－r＝3，得r＝3，所以T4＝22·Cx3＝40x3，故x3的系数为40.
(2)(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为Ca3＋C(－1)3＝a3－10＝－2，则a3＝8，解得a＝2.
(3)(x2－2x－3)3＝(x＋1)3(x－3)3，
故含x2的项为Cx0(－3)3Cx2＋Cx1(－3)2·Cx1＋Cx2·(－3)1·Cx0＝－81x2＋81x2－9x2＝－9x2，
所以展开式中含x2的项的系数是－9.
考点二　二项式系数的和与各项系数问题
例4 (1)在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________.
(2)(2022·广安诊断)已知(1＋x)(2－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋a2＋…＋a9＝________.
答案　(1)1　(2)－509
解析　(1)因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.在中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝2；令x＝0，得a0＝29＝512；又展开式的x10的项为C(－x)9x＝－x10，所以x10的系数为－1，故a1＋a2＋…＋a9＝2－512－(－1)＝－509.
感悟提升　1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
训练2 (1)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A.29 B.210 C.211 D.212
(2)已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.
答案　(1)A　 (2)3
解析　(1)由题意知C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
(2)当x＝0时，(－1)5＝－1＝a0.当x＝1时，(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33－1＝32，则m－1＝2，m＝3.
考点三　二项式系数的最值问题
例5 (2022·许昌模拟)(2－x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为________.
答案　－160
解析　因为(2－x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n为偶数，且＋1＝4，所以n＝6，即(2－x)n＝(2－x)6，其通项Tk＋1＝C26－k(－x)k，k＝0，1，2，…，6，令k＝3，则T4＝－C23x3＝－160x3，所以x3的系数为－160.
感悟提升　二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.
训练3 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)
A.6 B.
C.4x D.或4x
答案　A
解析　令x＝1，可得的展开式中各项系数之和为2n，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()2＝6.
考点四　二项式定理的应用
例6 (1)设a∈Z，且0≤a0，得n＝6.
4.已知(1＋x)10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a10(2＋x)10，则a9＝(　　)
A.－10 B.10 C.－45 D.45
答案　A
解析　(1＋x)10＝[－1＋(2＋x)]10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a10(2＋x)10，则a9＝C·(－1)＝－10.
5.若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　)
A.1 B.513 C.512 D.511
答案　D
解析　令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.
6.(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
答案　A
解析　展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.
7.若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)
A.2n B.
C.2n＋1 D.
答案　D
解析　设f(x)＝(1＋x＋x2)n，则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n　①，f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n　②，由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.
8.“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记an为图中第n行各数之和，则a5＋a11的值为(　　)

A.528 　　 B.1020
C.1 038 　　 D.1 040
答案　D
解析　a5＝C＋C＋C＋C＋C＝24＝16，a11＝C＋C＋C＋…＋C＝210＝
1 024，所以a5＋a11＝1 040.故选D.
9.(2021·成都检测)的展开式中x－1的系数是________(用数字作答).
答案　－35
解析　的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·()7－k·
＝(－1)kCx，
令＝－1，解得k＝3，
所以T4＝(－1)3Cx－1＝－35x－1，
所以x－1的系数为－35.
10.在的展开式中，x2的系数为________.
答案　－960
解析　因为＝＝，所以x2的系数为C(－2)3＝－960.
11.9192除以100的余数是________.
答案　81
解析　9192＝(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C＝k×100＋92×90＋1＝k×100＋82×100＋81(k为正整数)，
所以9192除以100的余数是81.
12.若(1－4x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022·x2 022，则＋＋…＋＝________.
答案　0
解析　取x＝0，则a0＝1；
取x＝，
则(－1)2 022＝a0＋＋＋…＋，
所以＋＋…＋＝1－a0＝0.

13.(2022·西安调研)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022等于(　　)
A.0 B.－2 C.－1＋i D.－1－i
答案　B
解析　x＝＝＝－1＋i，
由于Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝(1＋x)2 022－1＝i2 022－1＝－1－1＝－2.
14.已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　由题意可知，a＝C，b＝C.
∵13a＝7b，
∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6.
15.若多项式(2x＋3y)n的展开式中仅第5项的二项式系数最大，则多项式的展开式中x2的系数为(　　)
A.－304 B.304
C.－208 D.208
答案　A
解析　多项式(2x＋3y)n的展开式中仅第5项的二项式系数最大，故展开式有9项，
所以n＝8，
多项式＝的展开式的通项为Tr＋1＝C(－4)4－r·(0≤r≤4，且r∈N).的展开式的通项Tk＋1＝C(x2)r－k·＝Cx2r－4k(0≤k≤r，且k∈N，r∈N).
令2r－4k＝2，即r＝2k＋1，
所以k＝0，r＝1；k＝1，r＝3，
所以展开式中x2的系数为C·(－4)3＋C·C·(－4)＝－256－48＝－304.
16.设(1－ax)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2 022a2 022＝2 022a(a≠0)，则实数a＝________.
答案　2
解析　已知(1－ax)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022·x2 022，
两边同时对x求导，
得2 022(1－ax)2 021(－a)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 022a2 022x2 021，
令x＝1，得－2 022a(1－a)2 021＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2 022a2 022＝2 022a，
又∵a≠0，所以(1－a)2 021＝－1，即1－a＝－1，故a＝2.