备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

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第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.


1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin 2x.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(2)以y＝sin x的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象为例，“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
2.(易错题)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，4π， B.2，，
C.2，，－ D.2，4π，－
答案　C
解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3.(2022·郑州模拟)人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)＝101＋25sin(160π t)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是(　　)
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
答案　C
解析　p(t)＝101＋25sin(160πt)，
∵－1≤sin(160πt)≤1，∴p(t)∈[76，126]，
即收缩压为126 mmHg，舒张压为76 mmHg.
又知120/80 mmHg为标准值，∴收缩压高于标准值，舒张压低于标准值.
4.(易错题)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是____________.
答案　y＝3cos 2x
解析　由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝3sin 2(x＋)＝3sin(2x＋)＝3cos 2x.
5.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.

答案　－
解析　法一(五点作图法)　由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，
故f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－2cos
＝－.
法二(代点法)　由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，
所以T＝π，＝π，即ω＝2.
又点在函数f(x)的图象上，
所以2cos＝0，
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z).
又|φ|＜，所以令k＝0，得φ＝－，
所以f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－2cos
＝－.
6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为________________________.

答案　y＝10sin＋40，x∈[8，14]
解析　观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，
b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14].

考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (经典母题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－