备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式，共13页。试卷主要包含了理解同角三角函数的基本关系，eq \r＝等内容，欢迎下载使用。
第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__α cos__α －cos__α sin__α－sin__α 正切tan αtan__α－tan__α－tan__α  口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×解析　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.(4)当k为奇数时，sin α＝，当k为偶数时，sin α＝－.2.求值：cos＝________.答案　－解析　cos＝－cos ＝－.3.若cos α＝，则tan α＝________.答案　±解析　因为cos α＝，所以sin α＝±＝±＝±.故tan α＝＝±.4.(易错题)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.答案　－解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，∴sin θ－cos  θ＝－.5.(2022·昆明诊断)若cos＝，则sin＝________.答案　解析　sin＝sin＝cos＝.6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sin，则sin2α－sin 2α－cos2α＝________.答案　－解析　由2sin(π－α)＝3sin，得2sin α＝3cos α.所以tan α＝，从而sin2α－sin  2α－cos2α＝＝＝－.考点一　诱导公式的应用1.化简：＝________.答案　－解析　原式＝＝－.2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝________.答案　解析　由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.∵sin α＝，∴sin β＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝.3.(2022·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________.答案　－解析　sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－＝－.感悟提升　1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.考点二　同角三角函数基本关系及其应用角度1　切弦互化例1 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)A.   B.－   C.   D.－(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)A.－   B.－   C.   D.答案　(1)D　(2)C解析　(1)因为tan α＝－，所以＝－，所以cos α＝－sin α，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，又α是第四象限角，所以sin α＝－.(2)因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.角度2　sin α±cos  α与sin αcos α的转化例2 若sin θ－cos θ＝，且θ∈，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝(　　)A.－   B.   C.－   D.答案　A解析　由sin θ－cos θ＝得1－2sin θcos θ＝，即2sin θcos θ＝－，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcosθ＝.又θ∈，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－，故选A.感悟提升　1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.训练1 (1)(2022·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α等于(　　)A.   B.－   C.   D.－(2)(2022·成都联考)在△ABC中，sin A·cos A＝－，则cos A－sin A的值为(　　)A.－   B.－   C.   D.±(3)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝，则tan α＝________.答案　(1)D　(2)B　(3)或解析　(1)因为cos α＝－且α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝－.(2)∵在△ABC中，sin A·cos A＝－，∴A为钝角，∴cos A－sin A＜0，∴cos A－sin A＝－＝－＝－＝－.(3)将sin α＋cos α＝两边平方得1＋2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝，∴＝＝，整理得12tan2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝或tan α＝.考点三　同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)A.   B.   C.   D.(2)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.答案　(1)A　(2)0解析　(1)由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝＝＝.故选A.(2)∵cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.感悟提升　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等.训练2 (1)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________；(2)(2021·九江模拟)已知cos＝，则sin＝________.答案　(1)－　(2)－解析　(1)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2 θ， 得6sin θcos θ＝－8cos2 θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.(2)因为2＋＋2α＝，所以sin＝sin＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.1.sin 1 050°等于(　　)A.   B.－   C.   D.－答案　B解析　sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－.2.若角α的终边在第三象限，则＋的值为(　　)A.3   B.－3   C.1   D.－1答案　B解析　由角α的终边在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3，故选B.3.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan(π＋α)等于(　　)A.－   B.   C.－   D.答案　C解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan(π＋α)＝tan α＝＝－.4.已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)A.－   B.－  C.   D.答案　A解析　∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－＝－.5.已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)A.－   B.－   C.   D.答案　A解析　∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－，∵|θ|<，∴θ＝－.6.若3sin α＋cos α＝0，则的值为 (　　)A.   B.   C.   D.－2答案　A解析　由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－，则＝＝＝＝.7.＝(　　)A.sin 2－cos 2    B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)    D.cos 2－sin 2答案　A解析　＝＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.8.(2022·太原调研)已知3sin＝－5cos，则tan等于(　　)A.－   B.－   C.   D.答案　A解析　由3sin＝－5cos，得sin＝－cos，所以tan＝＝＝－.9.(2022·合肥模拟)已知tan(π－α)＝2，则＝________.答案　解析　由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，则＝＝＝.10.已知k∈Z，则的值为________.答案　－1解析　当k＝2n(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1.当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1.综上，原式＝－1.11.已知α为钝角，sin＝，则sin＝________，cos＝________.答案　－　解析　sin＝cos＝cos，∵α为钝角，∴π<＋α<π.∴cos<0.∴cos＝－＝－.cos＝sin＝sin＝.12.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为________.答案　1－解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.13.已知角α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin  α等于(　　)A.－   B.   C.－   D.答案　D解析　终边在直线y＝x上的角为kπ＋(k∈Z)，因为角α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z).又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝sin＝.14.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　)A.   B.   C.   D.答案　C解析　由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角).15.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 023)的值为________.答案　－3解析　因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，所以f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－acos α－bcos β＝－3.16.已知2θ是第一象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么tan θ＝________.答案　解析　因为sin4θ＋cos4θ＝，所以(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.所以sin θcos θ＝，所以＝，即＝，解得tan θ＝或tan θ＝.又因为2θ为第一象限角，所以2kπ<2θ<2kπ＋，k∈Z.所以kπ<θ<＋kπ，k∈Z.所以0<tan θ<1.所以tan θ＝.