备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8节 离散型随机变量的均值与方差

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8节 离散型随机变量的均值与方差，共19页。试卷主要包含了均值与方差的性质，两点分布与二项分布的均值、方差等内容，欢迎下载使用。
第8节　离散型随机变量的均值与方差
考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.


1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).

1.若X，Y相互独立，则E(X·Y)＝E(X)·E(Y).
2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.


1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.(　　)
(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.(　　)
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.(　　)
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.
2.(2022·潍坊模拟)已知X的分布列为(　　)
X
－1
0
1
P



设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B.4 C.－1 D.1
答案　A
解析　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
3.(易错题)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________.
答案　0
解析　∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，
∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.
4.(易错题)在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题.乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响.记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________.
答案　2
解析　由已知得Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B，则E(Y)＝3×＝2.
5.已知等差数列{xn}的公差d>0，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x9，则方差D(ξ)＝________.
答案　d2
解析　由等差数列的性质可得x1，x2，x3，…，x9的平均数为x5，
故D(ξ)＝[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x9－x5)2]＝(16d2＋9d2＋4d2＋d2＋d2＋4d2＋9d2＋16d2)＝d2.
6.(2021·绍兴模拟)袋中装有质地大小相同的1个白球和2个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(若摸得白球则涂成黑球，若摸得黑球则不改变)；第二步再从袋中随机摸取2个球，记第二步所摸取的2个球中白球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.
答案　　
解析　ξ的所有可能结果为1，0，P(ξ＝1)＝·＝，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝，所以E(ξ)＝1×＋0×＝.

考点一　离散型随机变量的均值与方差
例1 某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X(单位：元)，求X的分布列与数学期望E(X)，方差D(X).
解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为
1－－＝，1－－＝.
两人都付0元的概率为p1＝×＝，
两人都付40元的概率为p2＝×＝，
两人都付80元的概率为
p3＝×
＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为
p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为X，X可能取值为0，40，80，120，160，则：
P(X＝0)＝×＝；
P(X＝40)＝×＋×＝；
P(X＝80)＝×＋×＋×＝；
P(X＝120)＝×＋×＝；
P(X＝160)＝×＝.
所以X的分布列为
X
0
40
80
120
160
P





E(X)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(X)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
感悟提升　1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
2.注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.
训练1 (2022·韶关模拟)在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：
得分
频数
[30，40)
2
[40，50)
13
[50，60)
21
[60，70)
25
[70，80)
24
[80，90)
11
[90，100)
4
(1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ξ～N(μ，196)，μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求μ的值；
②若P(ξ>2a－5)＝P(ξE(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
感悟提升　随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
训练3 某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为
X1
300
－150
P


∴E(X1)＝300×＋(－150)×
＝200(万元).
若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为：
X2
500
－300
0
P



∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)0)＝p，则P(0