备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节 古典概型与几何概型

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节 古典概型与几何概型，共19页。试卷主要包含了几何概型，005×10＋10y＋0，6，等内容，欢迎下载使用。
第5节　古典概型与几何概型
考试要求　1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义.


1.古典概型
(1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的.
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
(2)古典概型的定义
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(3)古典概型的概率公式
P(A)＝.
2.几何概型
(1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
(2)几何概型的两个基本特点

(3)几何概型的概率公式
P(A)＝.

1.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
2.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.(　　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(　　)
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　　)
(4)概率为0的事件一定是不可能事件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.
2.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为(　　)
A. B.
C. D.非以上答案
答案　A
解析　从袋中任取一球，有C种取法，其中抽到白球的取法有C种，则所求概率为p＝＝.
3.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝.故选A.
4.(2021·安徽四校测试)如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域. 在正三角形中随机撒一粒豆子(豆子大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为，那么估计阴影区域的面积为(　　)

A. B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　设阴影区域的面积为S，根据几何概型的概率公式知S＝×42×＝3，故选C.
5.(2022·长春质量监测)张老师居住的一条街上，行驶着甲、乙两路公交车，这两路公交车的数目相同，并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6：00到6：10之间到达车站乘车到学校，这两条公交线路对他是一样的，都可以达到学校，甲路公交车的到站时间是6：09，6：19，6：29，6：39，…，乙路公交车的到站时间是6：00，6：10，6：20，6：30，…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是(　　)
A.10% B.50%
C.60% D.90%
答案　D
解析　张老师在早晨6：00到6：10之间到达车站是等可能的，故张老师在早晨6：00到6：09到达车站的概率为＝90%，故有90%的可能乘坐上甲路公交车.
6.(易错题)将一段长为3米的木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为________.
答案　
解析　根据题意，只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，故所求的概率为.

考点一　古典概型的简单计算
1.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为＝.
2.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从6个位置中任选2个位置排2个0，其他4个位置排4个1，共有CC＝15种排法；先排4个1，再将2个0插空，共有C＝10种插法，故所求概率p＝＝.
3.(2022·大同调研)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为________.
答案　
解析　不妨记齐王的上等马、中等马、下等马分别为A1，A2，A3，田忌的上等马、中等马、下等马分别为B1，B2，B3，则所有可能的情况为

田忌获胜的情况只有一种，即最后一种，所以田忌获胜的概率为.
感悟提升　古典概型中基本事件个数的探求方法：
(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.
(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识.
考点二　古典概型与统计的综合应用
例1 (2022·江西八所重点中学调研)某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，并整理得到如下频率分布直方图；

已知成绩的中位数为75.
(1)求x，y的值，并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替)；
(2)现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动，再从中选出两人进行一对一PK，求抽出的两人恰好来自同一组的概率.
解　(1)∵中位数为75，
∴0.005×10＋10y＋0.04×(75－70)＝0.5，∴y＝0.025，
又∵0.05＋0.25＋0.4＋10x＋0.1＝1，
∴x＝0.02，
则平均数＝55×0.05＋65×0.25＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75.5.
(2)法一　第四组与第五组人数的比为2∶1，
∴从第四组抽选4人，记为1，2，3，4，
从第五组抽选2人，记为a，b，
所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，4)，(2，a)，(2，b)，(3，4)，(3，a)，(3，b)，(4，a)，(4，b)，(a，b)共15种，
来自同一组的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(a，b)，共7种情况，
故恰好来自同一组的概率p＝.
法二　第四组与第五组的人数之比为2∶1，
所以利用分层抽样从第四组与第五组中分别抽选4人，2人.
设从6人中抽选两人恰好来自同一组为事件A，
则P(A)＝＝.
所以抽选的两人恰好来自同一组的概率为.
感悟提升　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.
训练1 (2022·东北三省四市模拟)在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分：

小组A
92
95
93
95
90
小组B
98
80
90
85
97
(1)请判断小组A与小组B哪一个更像是由专业人士组成的，并说明理由；
(2)若从A组的5位评委中任选2位评委，求其中恰有一位评委打分为95的概率.
解　(1)A打分更稳定.理由如下：
由表格数据，知：
A＝＝93，
B＝＝90，
s＝ (xA－A)2＝3.6，
s＝ (xB－B)2＝47.6，
其中i＝1，2，…，5.因为s，
则在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于”即x＋y>中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝，故选B.
感悟提升　几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率.
角度3　与体积有关的几何概型
例4 已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，则满足VP－ABC