备战2024年高考数学大一轮复习(人教A版-理)第七章 不等式、推理与证明 第3节 基本不等式及其应用
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这是一份备战2024年高考数学大一轮复习(人教A版-理)第七章 不等式、推理与证明 第3节 基本不等式及其应用,共16页。试卷主要包含了了解基本不等式的证明过程;2,两个重要的不等式,利用基本不等式求最值,应用基本不等式求最值要注意等内容,欢迎下载使用。
第3节 基本不等式及其应用
考试要求 1.了解基本不等式的证明过程;2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0,y≥0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
1.+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
2.ab≤≤.
3.≤≤≤(a>0,b>0).
4.应用基本不等式求最值要注意:“一定,二正,三相等”,忽略某个条件,就会出错.
5.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(2)函数y=x+的最小值是2.( )
(3)函数f(x)=sin x+的最小值为-5.( )
(4)x>0且y>0是+≥2的充要条件.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
解析 (1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;
不等式≥成立的条件是a≥0,b≥0.
(2)函数y=x+的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.
(4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件.
2.(易错题)已知x>2,则x+的最小值是( )
A.1 B.2 C.2 D.4
答案 D
解析 ∵x>2,∴x-2>0,
∴x+=x-2++2
≥2+2=4,
当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立.
3.若x0,y>0,且x+y=18,则的最大值为( )
A.9 B.18 C.36 D.81
答案 A
解析 因为x+y=18,所以≤=9,当且仅当x=y=9时,等号成立.
5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长为________m,宽为________m时菜园面积最大.
答案 15
解析 设矩形的长为x m,宽为y m.则x+2y=30,所以S=xy=x·(2y)≤=,当且仅当x=2y,即x=15,y=时取等号.
6.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________.
答案
解析 由题设知a-3b=-6,又2a>0,8b>0,所以2a+≥2=2·2=,当且仅当2a=,即a=-3,b=1时取等号.故2a+的最小值为.
考点一 利用基本不等式求最值
角度1 配凑法求最值
例1 (1)已知0<x<1,则x(3-2x)的最大值为________.
(2)已知x>,则f(x)=4x-2+的最小值为________.
(3)(2021·沈阳模拟)若0<x<,则y=x的最大值为________.
答案 (1) (2)5 (3)
解析 (1)x(3-2x)=·2x(3-2x)
≤·=,
当且仅当2x=3-2x,即x=时取等号.
(2)∵x>,∴4x-5>0,
∴f(x)=4x-2+=4x-5++3≥2+3=5.
当且仅当4x-5=,即x=时取等号.
(3)∵0<x<,
∴y=x=
=
≤·=,
当且仅当4x2=1-4x2,即x=时取等号,
则y=x的最大值为.
角度2 常数代换法求最值
例2 (2022·江西九校联考)若正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________.
答案 5
解析 因为a+b=1,所以+=+=++3,
因为a>0,b>0,所以++3≥2+3=5,当且仅当=,
即a=,b=时等号成立,
即+的最小值为5.
角度3 消元法求最值
例3 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________.
答案 6
解析 法一(换元消元法)
由已知得x+3y=9-xy,
因为x>0,y>0,
所以x+3y≥2,
所以3xy≤,
所以×≥9-(x+3y),
即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,
则x+3y≤-18(舍去)或x+3y≥6(当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号),
故x+3y的最小值为6.
法二(代入消元法)
由x+3y+xy=9,得x=,
所以x+3y=+3y
==
=3(1+y)+-6
≥2-6
=12-6=6,
当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时取等号,
所以x+3y的最小值为6.
感悟提升 利用基本不等式求最值的方法
(1)知和求积的最值:“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立.
(2)知积求和的最值:“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件.
(3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.
训练1 (1)已知函数f(x)=(x<-1),则( )
A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值-4
C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值-4
(2)正数a,b满足ab=a+b+3,则a+b的最小值为________.
答案 (1)A (2)6
解析 (1)f(x)==-
=-=-
=-(x+1)++2.
因为x<-1,所以x+1<0,-(x+1)>0,
所以f(x)≥2+2=4,
当且仅当-(x+1)=,
即x=-2时,等号成立.
故f(x)有最小值4.
(2)∵a>0,b>0,∴ab≤,
即a+b+3≤,
整理得(a+b)2-4(a+b)-12≥0,
解得a+b≤-2(舍)或a+b≥6(当且仅当a=b=3时取等号).
故a+b的最小值为6.
考点二 基本不等式的综合应用
例4 (1)(2022·河南名校联考)已知直线ax+2by-1=0和x2+y2=1相切,则ab的最大值是( )
A. B. C. D.1
(2)已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 (1)A (2)B
解析 (1)圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,由直线ax+2by-1=0和x2+y2=1相切,得=1,则a2+4b2=1,又由1=a2+4b2≥4ab,可得ab≤,当且仅当a=2b,即a=,b=时等号成立,故ab的最大值是.
(2)已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需求(x+y)的最小值大于或等于9,
∵(x+y)=1+a++
≥a+2+1=(+1)2,
当且仅当y=x时,等号成立,
∴(+1)2≥9,∴a≥4,
即正实数a的最小值为4.
感悟提升 1.当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.
2.求参数的值或范围时,要观察题目的特点,利用基本不等式确定相关成立的条件,从而得到参数的值或范围.
训练2 (1)若△ABC的内角满足3sin A=sin B+sin C,则cos A的最小值是( )
A. B. C. D.
(2)当x∈(0,+∞)时,ax2-3x+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 (1)B (2)
解析 (1)由题意结合正弦定理有3a=b+c,结合余弦定理可得:
cos A==
==-
≥-=.
当且仅当b=c时等号成立.
综上可得,cos A的最小值是.
(2)ax2-3x+a≥0,则a≥=,x∈(0,+∞),故x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,故y=≤,故a≥.
考点三 基本不等式的实际应用
例5 为了美化校园环境,园艺师在花园中规划出一个平行四边形,建成一个小花圃,如图,计划以相距6米的M,N两点为▱AMBN一组相对的顶点,当▱AMBN的周长恒为20米时,小花圃占地面积(单位:平方米)最大为( )
A.6 B.12 C.18 D.24
答案 D
解析 设AM=x,AN=y,
则由已知可得x+y=10,
在△MAN中,MN=6,
由余弦定理可得,
cos A==-1
=-1≥-1=-1=,
当且仅当x=y=5时等号成立,
此时(cos A)min=,
所以(sin A)max==,
所以四边形AMBN的最大面积为2××5×5×=24,此时四边形AMBN是边长为5的菱形.
感悟提升 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
训练3 某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________吨.
答案 20
解析 该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用为之和为万元,·4+4x≥160,当且仅当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
1.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是( )
A.a+b≥2 B.+≥2
C.≥2 D.a2+b2>2ab
答案 C
解析 因为和同号,所以=+≥2.
2.若3x+2y=2,则8x+4y的最小值为( )
A.4 B.4 C.2 D.2
答案 A
解析 因为3x+2y=2,所以8x+4y≥2=2=4,当且仅当3x+2y=2且3x=2y,即x=,y=时等号成立.
3.若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 C
解析 依题意ab=a+b,∴a+b=ab≤,即a+b≤,
∴a+b≥4,当且仅当a=b=2时取等号,
∴a+b的最小值为4.
4.已知f(x)=,则f(x)在上的最小值为( )
A. B. C.-1 D.0
答案 D
解析 因为x∈,所以f(x)==x+-2≥2-2=0,当且仅当x=,即x=1时取等号.
又1∈,所以f(x)在上的最小值为0.
5.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
答案 B
解析 设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是元,仓储费用是元,总的费用是元,由基本不等式得+≥2=20,当且仅当=,即x=80时取等号.
6.对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为( )
A. B.2 C.4 D.
答案 B
解析 ∵对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,
∴m2+2n2≥amn,即a≤=+恒成立,
∵+≥2=2,当且仅当=即m=n时取等号,∴a≤2,故a的最大值为2.
7.(2022·河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数列{an},a6,3a5,a7成等差数列,若{an}中存在两项am,an,使得4a1为其等比中项,则+的最小值为( )
A.4 B.9 C. D.
答案 D
解析 设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,q>0,
由a6,3a5,a7成等差数列,可得6a5=a6+a7,即6a1q4=a1q5+a1q6,
解得q=2(q=-3舍去),
由{an}中存在两项am,an,使得4a1为其等比中项,
可得16a=aman=a·2m+n-2,
化简可得m+n=6,m,n∈N*,
则+=(m+n)
=≥=.
当且仅当n=2m=4时,上式取得等号.
8.已知x>0,y>0,且+=,则x+y的最小值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
答案 C
解析 ∵x>0,y>0,且+=,
∴x+1+y=2(x+1+y)
=2
≥2=8,当且仅当=,即x=3,y=4时取等号,
∴x+y≥7,故x+y的最小值为7.
9.(2021·宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似表示为y=x2-300x+80 000,为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月的垃圾处理量应为________吨.
答案 400
解析 由题意知,每吨垃圾的平均处理成本为==+-300,其中300≤x≤600,又+-300≥2-300=400-300=100,所以当且仅当=,即x=400吨时,每吨垃圾的平均处理成本最低.
10.(2022·兰州诊断)设a,b,c均为正实数,若a+b+c=1,则++≥________.
答案 9
解析 ∵a,b,c均为正数,a+b+c=1,
∴++=(a+b+c)
=3+++
≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时,取等号.
11.(2020·江苏卷)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是________.
答案
解析 由题意知y≠0.由5x2y2+y4=1,可得x2=,所以x2+y2=+y2==≥×2=,当且仅当=4y2,即y=±时取等号.所以x2+y2的最小值为.
12.(2020·天津卷)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为__________.
答案 4
解析 因为a>0,b>0,ab=1,
所以原式=++=+≥2=4,当且仅当=,即a+b=4时,等号成立.
故++的最小值为4.
13.(2021·山西考前测试)已知a,b,c∈(0,+∞),且a>4,ab+ac=4,则++的最小值是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 A
解析 因为a,b,c∈(0,+∞),且ab+ac=4,
所以++=+=+≥8,当且仅当=,即a+b+c=8时取等号,所以b+c=8-a,代入ab+ac=4,解得a=4±2,
又因为a>4,所以a=4+2,b+c=4-2,此时等号成立,
故所求最小值为8.
14.(2022·合肥模拟)《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形,该矩形的长为a+b,宽为内接正方形的边长d,由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论.如图3,设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推断正确的是( )
①由图1和图2面积相等可得d=;
②由AE≥AF可得≥;
③由AD≥AE可得≥;
④由AD≥AF可得a2+b2≥2ab.
A.①②③④ B.①②④
C.②③④ D.①③
答案 A
解析 由题图1和题图2面积相等得ab=(a+b)d,可得d=,①对;
由题意知题图3的面积为
ab=·AF,
则AF=,AD=BC=,
设题图3中正方形的边长为x,由三角形相似,得=,解得x=,则AE=,可以化简判断②③④对.
15.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
答案 4
解析 ∵a,b∈R,ab>0,
∴≥=4ab+
≥2=4,
当且仅当即时取得等号.
16.已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是________.
答案
解析 对任意x∈N*,f(x)≥3,
即 ≥3恒成立,
即a≥-+3.
设g(x)=x+,x∈N*,
则g(x)=x+≥4,
当且仅当x=2时等号成立,
又g(2)=6,g(3)=,
∵g(2)>g(3),∴g(x)min=.
∴-+3≤-,
∴a≥-,故a的取值范围是.
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