备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图象与性质

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第4节　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.


1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
{xx≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无

1.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是T，其中T为周期，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是T，其中T为周期.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k0，|φ|c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
答案　A
解析　a＝f＝2cos，
b＝f＝2cos，c＝f＝2cos，
因为y＝cos x在[0，π]上递减，
又c.
角度3　根据三角函数的单调性求参数
例4 (1)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f(x)在区间上单调递增，则φ的取值范围是________.
(2)(2022·山西高三测评)已知函数f(x)＝sin＋cos在(－a，a)(a＞0)上单调递增，则a的取值范围是________.
答案　(1)　(2)
解析　(1)因为函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)在区间上单调递增，
所以函数y＝2sin(2x＋φ)在区间上单调递减，
又因为y＝2sin(2x＋φ)的单调递减区间为＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ－≤x≤＋kπ－，k∈Z，
所以＋kπ－≤，≤＋kπ－，k∈Z，
所以＋2kπ≤φ≤＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|＜π，所以令k＝0，解得≤φ≤，
所以φ的取值范围是.
(2)f(x)＝sin ＋cos ＝2sin，
由－＋2kπ≤＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，
所以
感悟提升　1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
训练2 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________.
(2)(2022·中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________.
答案　(1)，k∈Z　(2)
解析　(1)由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z.
(2)法一　令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)在区间上单调递减，
所以a的最大值为.
法二　因为≤x≤a，
所以＋≤x＋≤a＋，
又f(x)在上单调，＋＜a＋≤，即＜a≤，所以a的最大值为.
三角函数中ω的求解
在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.
一、结合三角函数的单调性求解
例1 若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，
因为f(x)在上单调递减，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω＞0，所以k≥0.
又6k＋≤4k＋3，得0≤k≤.
又k∈Z，所以k＝0.即≤ω≤3.故选D.
二、结合三角函数的对称性、周期性求解
例2 (2021·兰州质量预测)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，其图象的一条对称轴在区间内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是(　　)
A. B.(0，2) C.(1，2) D.[1，2)
答案　C
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2sin(ω＞0)，
令ωx＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得x＝＋(k∈Z)，
由于函数f(x)图象的一条对称轴在区间内，
因此有＜＋＜(k∈Z)成立，即3k＋1＜ω＜6k＋2(k∈Z)，
由f(x)的最小正周期大于π，得＞π且ω＞0，解得0＜ω＜2，
综上可得1＜ω＜2.故选C.
三、结合三角函数的最值求解
例3 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
答案　(－∞，－2]∪
解析　显然ω≠0.若ω＞0，
当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的ω的取值范围是(－∞，－2]∪.


1.下列函数中，是周期函数的为(　　)
A.f(x)＝sin |x| B.f(x)＝tan |x|
C.f(x)＝|tan x| D.f(x)＝(x－1)0
答案　C
解析　对于C，f(x＋π)＝|tan(x＋π)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是周期函数，其余均不是周期函数.
2.(2021·西安调研)函数y＝3tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠π＋，k∈Z，
所以函数的定义域为，故选C.
3.函数f(x)＝cos的图象的一条对称轴方程为(　　)
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝－
答案　B
解析　令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，故选B.
4.已知函数f(x)＝2cos为奇函数，则φ＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　D
解析　因为f(x)为奇函数，所以＋φ＝kπ＋，则φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
答案　
解析　由0，由题意得解得1≤ω