邵阳市第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份邵阳市第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
邵阳市第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知i为虚数单位，，则(   )A. B.i C. D.-i2、在锐角三角形中，，则(   )A. B. C. D.3、已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是(   )A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则4、甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为(   )A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.25、已知，，，则a，b，c的大小顺序为(   )A. B. C. D.6、在中，，若，则的值为(   )A. B. C. D.7、在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为(   )A. B. C. D.8、函数满足，当,时都有，且对任意的，不等式恒成立.则实数a的取值范围是(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、下列说法正确的是(   )A.命题“,”的否定是“,”B.若，则“”是“”的必要不充分条件C.若事件A,B满足，则A,B是对立事件D.若事件A,B满足，则事件A,B相互独立10、复数,在复平面内对应的向量分别为,，则下列四个结论错误的是(   )A.B.若，则C.恒成立D.若，则11、已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的是(   )A.若，则B.若，，，则该三角形有两解C.若，则一定为等腰三角形D.若，则一定为钝角三角形12、已知正方体的棱长为1，H为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是(   )A.B.二面角的大小为C.点H到平面距离的取值范围是D.若，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为三、填空题13、若，则的最小值为________________.14、若，则______.15、一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为_________.16、已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为________.四、解答题17、已知向量，，若，，与的夹角为.（1）求；（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？18、2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；（3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在的概率.19、如图，在四棱锥中，,,,,M是的中点.（1）证明：;（2）证明：；（3）求三棱锥的体积.20、在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知.（1）求角A；（2）若D为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围.21、如图，在三棱台中，，平面，平面平面.（1）求证：；（2）若，的面积为4，求二面角的余弦值.22、已知函数是偶函数.（1）求m的值；（2）若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围.
参考答案1、答案：B解析：因为，所以.故选：B.2、答案：A解析：在锐角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.故选：A.3、答案：D解析：A：，，则或，错误；B：，，则或，错误；C：，，则,相交或平行，错误；D：，，则，又，故，正确.故选：D.4、答案：C解析：甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为:.故选：C.5、答案：B解析：，，，所以.故选：B.6、答案：A解析：因为，所以D为上靠近点A的三等份点，所以,因为，所以，， 所以，故选：A.7、答案：A解析：如图，连接AC、BD、、，设，，连接MN.棱台侧棱相等，易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，如图当球心在线段MN延长线上时，易得，，，，，由得，，即，故，外接球表面积为.如图当球心在线段MN上时，由得，，即舍去，故选：A.8、答案：C解析：由题得函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，则不等式，恒成立，则，恒成立，得，得，恒成立，则且，或且，恒成立，即当时，且，或且，又当，有，，得.故选：C.9、答案：BD解析：对于A，命题“,”的否定是“,”，A错；对于B，由，可得，所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；对于C，若事件A,B不互斥，但恰好，满足，但不对立，C错；对于D，满足独立事件的判断公式，D正确.故选：BD.10、答案：ABD解析：由题意，A项，当,时，此时，A错误；B项，当,时，，，B错误；C项，复数,在复平面内对应的向量分别为,，，∴恒成立，C正确；D项，当,时，，，D错误.故选：ABD.11、答案：AD解析：对A，由三角形的性质，当时，，又由正弦定理，故，故A正确；对B，由正弦定理，故，故，因为，故，故该三角形只有1解，故B错误；对C，由正弦定理，，故，所以或，即，所以为等腰或者直角三角形，故C错误；对D，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定为钝角三角形，故D正确；故选：AD.12、答案：ACD解析：由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,, 设，其中，对于A：,，故即，故A正确.对于B：，,，设平面的法向量为，则，即，取，则, 故.设平面的法向量为，则，即，取，则, 故.故，而二面角为锐二面角，故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故B错误.对于C：，，设平面的法向量为，则，即，取，则, 故.而，故H到平面的距离为，故C正确.对于D：设直线与平面所成的角为.因为，故为平面的法向量，而，故，而，故D正确.故选：ACD.13、答案：4解析：， 当且仅当,时等号成立.故答案为：4.14、答案：或－0.28解析：，故答案为：.15、答案：5解析：设这组数据为，均值为，不妨设，，方差为；由题意，新数据为，显然新数据的均值与原数据的均值相等，其方差为；即新数据的方差比原数据的方差增加了5；故答案为：5.16、答案：解析：如图作，，如图，以点O为原点，为x的正方向建立平面直角坐标系，因为，，，所以点A的坐标为，点E的坐标为作，设点B的坐标为，因为，所以，所以，所以点B在以为圆心，以1为半径的圆上，因为对任意的实数t，均有，所以，又，所以恒成立，所以，所以，即，作，设点C的坐标为，则，即，所以点C在直线上，因为，又点B在圆上一动点，点C在直线上一动点，所以点B到点C的最小距离为点A到点C的距离减去圆的半径1，即，当且仅当点B为线段与圆的交点时等号成立，因为点到直线的距离，所以点A到点C的距离大于等于，即，所以，当且仅当垂直于直线且点B为线段与圆的交点时等号成立，所以最小值为，故答案为：.17、答案：（1）（2）解析：（1）由已知可得，，，，所以，，所以，.（2）由已知可得，即，所以有，解得.18、答案：（1）70.5（2）71.67（3）解析：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数（2）因为成绩在的频率为，成绩在的频率为，所以中位数为.（3）在和两组中的人数分别为和人，所以在分组中抽取的人数为人，记为a,b,c，在分组中抽取的人数为2人，记为1,2，所以这5人中随机抽取2人的情况有ab,ac,bc,a1,b1,b2,c1,c2,1,2共10种，其中两人得分都在的情况有1种，所以两人得分都在的概率为.19、答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：（1）取中点N，连接， ,,, , 为平行四边形，则，面，面,.（2）因为，所以，由平面,平面，所以，又由，且,平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面.（3）由（1）可得，且平面，平面，所以平面，所以，因为平面，可得，又由,, 所以， 所以，即三棱锥的体积为.20、答案：（1）（2）解析：（1）由，结合正弦定理可得：，则，因为A、，则，所以，，可得，故.（2）由可得，所以，，所以，，故，在中，，，由正弦定理可得，所以，，因为，则，所以，.所以，的取值范围是.21、答案：（1）见解析（2）.解析：（1）证明：取中点D，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以①，又因为平面，平面，所以②，易知与相交③,由①②③可得平面，又因为平面，所以；（2）因为平面，，平面，所以，，由（1）可知平面，平面，所以，所以以A为原点，、、所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系：因为，所以，，又因为的面积为4，即，解得，所以，，，，所以，，，设平面的法向量为，则有，即，所以，取，设平面法向量为，则有，即，所以，取，设二面角的大小为，为锐角，则有.22、答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，，因为函数为偶函数，则，即，所以，，解得.（2）由（1）可得，，任取、，且，则，，当时，，则，所以，，即，当时，，则，所以，，即，所以，函数在上递减，在上递增，令，问题转化为：，即，再令，所以，对恒成立.（i）当时，左边，右边，不符合题意.（ii）当时，①当时，则，，当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；②当时，有，所以，，当，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，所以，，此时，；③当时，恒成立，符合题意.综上所述，m的取值范围是，的取值范围是.