高考数学压轴难题归纳总结培优专题1.3 极值点偏移第一招--不含参数的极值点偏移问题 (含解析)

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函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.例.（2010天津理）已知函数 ，如果，且.证明：构造函数，则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.由，则，所以，即，又因为，且在上单调递减，所以，即证 法三：由，得，化简得…，不妨设，由法一知，.[KS5UKS5U.KS5U令，则，代入式，得，反解出，则，故要证，[KS5UKS5UKS5U]即证，又因为，等价于证明：…，构造函数，则，故在上单调递增，，从而也在上单调递增，， 构造，则，又令，则，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，[KS5UKS5UKS5U]由洛比塔法则知：，即证，即证式成立，也即原不等式成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，[KS5UKS5UKS5U]【解析】易知，在上单调递增，在上单调递减.  招式演练：★已知函数，正实数满足.证明：.[KS5UKS5U]【解析】由，得从而，令，构造函数，得，可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，也即，解得：.★已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若方程 有两个相异实根，，且，证明：.【答案】（Ⅰ）在 (0,1)递增， 在(1,+ 递减；（Ⅱ）见解析（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足且，                  由题意可知                               又有(1)可知在递减故                                                          所以，令