高考数学压轴难题归纳总结培优专题2.3 极值点处单调变导数调控讨论参 (含解析)

【题型综述】

函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

（2）求函数极值的方法：

①确定函数的定义域．

②求导函数．

③求方程的根．

④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．

（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．

【典例指引】

例1．已知函数，．

（1）求函数的极值；

【思路引导】

试题分析：（1）求得，可分和两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；

当， ， 在上单调递减；

当， ， 在上单调递增．

故在处取得极小值，且极小值为，无极小值．

综上，当时，函数无极值；

当时， 有极小值为，无极大值．

点评：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节．

例2．已知函数，

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

【思路引导】

（1）欲求曲线在点处的切线方程，只需求出斜率和和的值，即可利用直线的点斜式方程求解切线的方程；

（2）求出，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可，可分两种情况，求出函数的单调区间，得出函数的极值．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，本题的解答中涉及利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性和极值，求解函数的单调区间，涉及到分类讨论的数学思想的应用，熟记利用导数研究函数的性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

例3．已知，其中．

（1）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；

（2）求的极值；

（3）若函数有两个极值点， ，证明．

【思路引导】

（Ⅰ）当a=0时，求得f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）求得f（x）的导数，可得有两个不同的实根，讨论当a≤0时，当a>0时，判断单调性可得极大值大于0，解不等式即可得到所求范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时，有两个极值点，， ，构造函数对不等式进行证明．

②当时 或， ．在，上单调递增，

在上单调递减，在时取到极大值，

且，在时取到极小值，且；

③当时恒成立，在上单调递增，没有极大值也没有极小值；

④当时 或， ，在，上单调递增，

在上单调递减，在时取到极小值，且．在时取到极大值，且．

综上可得，当时，在时取到极小值，没有极大值；

当时，在时取到极大值，在时取到极小值；

当时，没有极大值也没有极小值；当时，在时取到极小值．

在时取到极大值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时，有两个极值点，，

且 ．

所以 ，

设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，

由且可得，所以 ，

即 ．

点评：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值 ，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．

例4．已知函数，．

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）探究函数的极值点情况，并说明理由．

【思路引导】

（1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求导数，转化研究函数，利用导数易得先减后增，讨论与两个端点值以及最小值点大小关系，确定极值点情况．

（ii）当，即时，有两不同解，函数在上有两个极值点；

（iii）当，即时，有一解，函数在区间上有一个极值点；

（iv）当，即时，，函数在区间上无极值点．

【同步训练】

1．已知函数，，（其中，为自然对数的底数， ……）．

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极小值，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）求导函数的导数得，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当时，导函数不变号，为单调递增；当时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增（2）由题意得，结合（1）根据导函数单调性分类讨论在处是否为极小值：当时， 在附近先减后增，为极小值；当时，按与零大小关系进行二次讨论： ， 单调递增； 在附近先减后增，为极小值；当时， ，无极值； 时， 单调递减； 在附近先增后减，为极大值；综上可得实数的取值范围．

（3）当时，由（Ⅰ）知在区间单调递减，在区间单调递增，

所以在处取得最小值，即，

所以函数在上单调递增，所以在处无极值，不符合题意．

（4）当时， ，由（Ⅰ）知的减区间为，所以当时，

，当时，，

所以在处取得极大值，不符合题意，

综上可知，实数的取值范围为．

2．设，．

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值尽享讨论即可得出单调

区间；（2）已知在处取得极大值，故，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围．

（2）由（1）知， ．

①当a时， 单调递增．

所以当时， ， 单调递减．当时， ， 单调递增．

所以在处取得极小值，不合题意．

②当时， ，由（1）知在内单调递增，

可得当时， ， 时， ，

所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意．

③当时，即时， 在内单调递增，在 内单调递减，

所以当时， ， 单调递减，不合题意．

④当时，即 ，当时， ， 单调递增，

当时， ， 单调递减，

所以在处取得极大值，合题意．

综上可知，实数的取值范围为．

3．已知函数．

（1）求函数的极小值；

【思路引导】

（1）先求函数导数．再根据导函数是否变号进行分类讨论：当时，导函数不变号，无极小值；当时，导函数先负后正，有一个极小值

4．设，．

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）先求导数得，再求函数导数，根据讨论导数是否变号，进而确定单调区间（2）根据讨论单调性，确定极值取法：当时，时，单调递减，时单调递增，在处取得极小值；当时，时单调递减，当时，时，单调递增，时单调递减，在处取得极大值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

①当时，单调递增，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以在处取得极小值，不合题意．

②当时，，由（Ⅰ）知在内单调递增，

可得当时，，时，，

所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增，

所以在处取得极小值，不合题意．

③当时，即，在(0，1)内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，单调递减，不合题意．

④当时，即 当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以在处取得极大值，合题意．

综上可知，实数a的取值范围为．

点评：函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)知图判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

(2)已知函数求极值．求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论．

(3)已知极值求参数．若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反．

5．设，．

（1）若，求的单调区间；

（2）讨论在区间上的极值点个数；

【思路引导】

（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先求函数导数，转化为研究零点个数，利用二次求导易得在区间上单调递增，其零点个数决定于最小值的大小，讨论其最小值与零的大小得到极值点个数.

①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点．

②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．

综上：当或时：在上无极值点．

当时：在上有唯一极值点．

6．已知函数．

(1)求函数的极小值；

【思路引导】

 (1) 对a分类讨论，明确函数的单调性求出函数的极小值；(2) 要证成立，即证，只需证．

7．设函数 （为常数，是自然对数的底数）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．

【思路引导】

（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．

（2）．由1知，时，函数在内单调递减，

故在内不存在极值点；

当时，设函数，，

因为，

当时，当时，，单调递增；

故在内不存在两个极值点；

当时，得时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增；

所以函数的最小值为，

函数在内存在两个极值点，

当且仅当，解得．

综上所述，函数在内存在两个极值点时，的取值范围为．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于难题．函数极值点问题转化为导数为0的根的问题，又考查了零点分布问题，研究单调性结合图像即可

8．已知函数

（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；

【思路引导】

求导数，分类讨论，利用导数的正负，讨论函数f（x）的单调区间与极值

9．已知，是的导函数．

（1）求的极值；

【思路引导】

（Ⅰ）由题意得处，进而，分和两种情况讨论，即可求解；

试题解析：（Ⅰ）， ， ，

当时， 恒成立， 无极值；

当时， ，即，

由，得；由，得，

所以当时，有极小值．

点评：本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到利用到时研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及不等关系的证明，同时着重考查了分类讨论思想的应用，合理构造新函数，正确利用导数研究函数的性质是解答的关键．

10．已知函数，．

（Ⅰ）求函数的极值；

【思路引导】

对函数求导，对分情况讨论，从单调性得出是否有极值，且求出极值；

点评：本题主要考查了导数在研究函数的单调性，极值上的应用，属于难题．分类讨论时注意不重不漏，步骤完整．

11．已知函数．

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，对任意的恒成立，，求实数的取值范围．

【思路引导】

（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对 分类讨论导函数的符号，在 时由导函数在不同区间内的符号得到原函数的单调性，从而求得函数的极值点；
（Ⅱ）由函数 在 处取得极值求得，代入函数解析式，进一步代入 ，分离参数后构造函数，利用导数求其最小值后得答案．

试题解析：（1）．

当时，在上恒成立，函数在单调递减，所以在上没有极值点；

当时，由得，由得

所以在上递减，在递增，即在处有极小值．

综上：当时，在上没有极值点；

当时，在上有一个极值点．

（2）因为函数在处取得极值，所以．

因为，令，可得在上递减，在上递增．

∴  ∴．

12．设函数（）．

（1）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）求函数的极值点；

【思路引导】

（1）利用导数转化为： 或在上恒成立．再根据变量分离转化为对应函数最值： 最大值或最小值，即得．（2）实质为讨论一元二次方程解的情况：当时，方程无解，函数无极值点； 时，方程有一解，函数有一个极值点； 时，方程有两解，函数有两个极值点；

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．

13．已知函数 ，其中 ．

（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；

（2）若函数 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．

【思路引导】

(1)首先利用导函数求得切线的斜率为1，然后利用点斜式可得切线方程为；

(2)求解函数的导数，然后讨论函数的性质可得实数的取值范围是 ．

试题解析：（1）当则

又则切线的斜率，

所以函数在处的切线方程为．             

所以在上有且仅有一根，故，

且当时， ， ，函数在上单调递增；

当时， ， ，函数在上单调递减；

所以时，函数在定义域上有且仅有一个极值点，符合题意；                                                   

③若， ，该二次函数开口向上，对称轴．

（ⅰ）若，即， ，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；                                        

（ⅱ）若，即，又，所以方程在上有两根， ，故，且

当时， ， ，函数在上单调递增；

当时， ， ，函数在上单调递减；

当时， ， ，函数在上单调递增；

所以函数在上有两个不同的极值点，故不符题意，舍去，

综上所述，实数的取值范围是．

点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

14．已知函数．

(I)当a=2时，求曲线在点处的切线方程；

(II)设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

【思路引导】

（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由，通过讨论确定的单调性，再由单调性确定极值．

令，则，

所以在上单调递增，因为，

所以，当时， ；当时， ．

（2）当时， ，

当时， ， 单调递增；

所以在上单调递增， 无极大值也无极小值．

（3）当时， ，

当时， ， ， 单调递增；

当时， ， ， 单调递减；

当时， ， ， 单调递增．

所以当时取到极大值，极大值是；

当时取到极小值，极小值是．

综上所述：

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；