高考数学压轴难题归纳总结培优专题2.7 欲证不等恒成立，目标调整依形式 (含解析)

这是一份高考数学压轴难题归纳总结培优专题2.7 欲证不等恒成立，目标调整依形式 (含解析)，共21页。
【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 【典例指引】例1．已知函数．（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当且时，试比较的大小．令，则只要证明在上单调递增，又∵，显然函数在上单调递增． ∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．例2．已知函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.(Ⅰ)求函数的表达式；(Ⅱ)若对，恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)求证：. (Ⅲ)证明：因为，所以  要证不等式成立， 即证.    因为，   所以. 所以成立  例3．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点 （I）求的取值范围；（II）求证：【答案】(1) ;(2)详见解析. 【思路引导】 (1) 函数，在定义域内有两个不同的极值点， 令即对求导，按照和分类判断单调性及极限，求出函数的极值，确定a的范围;(2)证明， 即证，， ，构造函数求导判断单调性求出函数的最值，即可证明不等式成立.（II）由题意及（I）可知，即证          例4．已知函数的图象在处的切线过点， .（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）【思路引导】（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得，又，可得，则，可得函数的极值点（2）由题是方程的两个根，则， ，由，可得， ，∴是函数的极大值， 是函数的极小值，∴要证，只需，计算整理可得 ，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证 【同步训练】1．已知函数与.（1）若曲线与曲线恰好相切于点，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：. .【思路引导】（1）先求出导函数 由 ，解方程可得；（2）由 在恒成立的必要条件为得，再利用导数研究函数的单调性及最值，从而证明时，对任意 ，总有；（3）由（2）知：时，令，化简可得，再令 ，多个不等式求和，利用对数的运算法则即可的结论.试题解析：（1）先求出导函数 由 ，解方程可得. （2）令，则 ，在恒成立的必要条件为.即，又当时，，，令，则，即，在递减，即，在恒成立的充分条件为.综上，可得：（3）设为的前n项和，则，要证原不等式，只需证：，由（2）知：时即：（当且仅当时取等号）.令，则，即：，即， 令 ，多个不等式求和，从而原不等式得证【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.2．函数f（x）=（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，求证：f（x）≥.【思路引导】（Ⅰ）求导整理可得，通过讨论a的取值可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a＞0时，故可将问题转化为证≥ 成立即可，构造函数，利用导数可以得到，从而证得原不等式成立。 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减； 在上单调递增，则．     要证≥，即证≥，即证≥0． 令，则， 由解得，由解得，∴在上单调递减； 在上单调递增；∴，∴  ≥0成立．从而≥成立．3．已知函数其中实数为常数且.（I）求函数的单调区间；（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，求证：.【思路引导】（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；（2）由（1）可知当时函数有极值，此时 ，再根据根与系数的关系求解；（3）将问题转化为证明当时， 成立的问题，变形得即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可。由或  由 综上所述，当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时， 的单调递增区间为， ，单调递减区间（III）由（II）知，当，，. 故原不等式等价于证明当时， ，即证.设函数，则当时， .函数在区间单调递减， 由知，∴ .即.  从而原不等式得证. [来源:Z§xx§k.Com]点睛：本题的解题过程需要注意以下两点：（1）分类讨论思想方法的运用，对于题目中出现的参数，要根据题意分为不同的情况去处理，在分类中要做到补充不漏；（2）对于型的不等式的证明，可通过构造函数，利用函数的单调性和最值去处理，解题时要注意定义域和区间端点函数值的运用。4．设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证.（参考知识：若，则有）【思路引导】（1）当时，求出，由 可得增区间，由可得减区间；（2）求出函数的导数，由，得到函数的单调区间，根据函数的单调性可得，从而确定的范围；（3）由题意得得，根据不等式的性质，利用分析法可以证明. （3）由题意得得，欲证即证即证，即.∴，得证.5．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当，且时，证明：.【答案】(1) 单调递减区间为，单调递增区间为；(2)见解析.【思路引导】（1）令，得增区间，，得减区间；（2），需证，变量集中. 6．已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：．【思路引导】（1）求出，解不等式即可得的单调增区间；（2）等价于，利用导数研究函数的单调性，证明，从而可得结果. 7．已知函数．（Ⅰ）若函数有零点，其实数的取值范围．（Ⅱ）证明：当时，．【思路引导】（1）求出函数的导数，讨论两种情况，分别研究函数的单调性，求其最值，结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围；（2）问题转化为，令，令，利用导数研究函数的单调性，分类讨论求出函数的最值，即可证明.试题解析：（1）函数的定义域为.由，得.①当时， 恒成立，函数在上单调递增，又，所以函数在定义域上有个零点.②当时，则时， 时， .所以函数在上单调递减，在上单调递增.当.当，即时，又 8．已知函数.（1）若在区间有最大值，求整数的所有可能取值；（2）求证：当时，.【思路引导】（1）在区间有最大值，即是在区间有极大值，求出，求出极大值点 ，令 ，从而可得结果；（2）等价于，只需证明即可.试题解析：（1）f′(x)＝（x2＋x－2）ex，当x<－2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，[来源:学科网]由题知：a＜－2＜a+5，得：－7＜a＜－2，则a＝－6、－5、－4、－3，学科&网当a＝－6、－5、－4，显然符合题意，若a＝－3时，f(－2)＝5e―2，f(2)＝e2，f(－2)＜f(2)，不符合题意，舍去．故整数a的所有可能取值－6，―5，－4．（2）f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7可变为(－x2＋3x－1)ex＜－3lnx＋x3+7，令g(x)＝(－x2＋3x－1)ex，h(x)=－3lnx＋x3+7，g′(x)＝(－x2＋x＋2)ex，0＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x＞2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)的最大值为g(2)＝e2，h′(x)＝，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，h(x)的最小值为h(1)＝8＞e2，g(x)的最大值小于h(x)的最小值，故恒有g(x)＜h(x)，即f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7．9．已知函数.（1）设，若，求的单调区间；（2）设，比较与的大小.[来源:Z_xx_k.Com]【答案】（1）的单调增区间是，单调递减区间是；（2）【思路引导】（1）由，得， ，所以的单调增区间是，单调递减区间是。（2）由，所以，即，所以证到了，就证明了，而只需证明所以构造函数，求导可解。 ，即，又，.【点睛】本题第二问是关于多元变量不等式成立问题，我们常用的方法是其中一个做变量，其余做参量，如本题以m为变量，所以构造函数，当然以n为变量也可以。另外还有常用的方法就是，当多个变量以整体形式出现时，我们也常用换元的方法，如经常等。这样多个变量就变成了一个变量问题。10．函数(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，且，求证： 【答案】(1) 时， 在上单减，在上单增； 时， 在上单减，在和上单增; 时， 在上单增;(2)见解析.【思路引导】 (1) ，分类讨论，研究的符号情况，进而得到函数的单调区间;(2) 设函数有两个极值点，且， 、是的二根 ，若证成立，只需证对恒成立.设，研究其最值即可. 1) 当即，即时，时， ，即， 时， ，即 2) 当时，即，即时时， ，即或时， ，即 综上:时，在上单减，在上单增；时，在上单减，在和上单增; 时， 在上单增．  (2)若函数有两个极值点，且则必是，则，则， 当时， ， ， 故，故在上单增故 对恒成立 11．已知函数.（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）求证： .【答案】（Ⅰ）在和上都是增函数；（Ⅱ）证明见解析【思路引导】（1）先对题设条件中函数解析式进行求导，再构造函数对所求得的导函数的值的符号进行判定；（2）先构造函数，再对其求导得到，求出导函数的零点，得到最小值为0，从而证得然后借助函数的单调性，分、、三种情形进行分析推证，使得不等式获证。（Ⅱ）设，[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]则，得，∴在上是减函数，在上是增函数，∴，即.①当时， ，∵在上是增函数，∴，即，∴.②当时， ，∵在上是增函数， 12．已知函数．(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；(3)设为正实数，且，求证：．【答案】(1) ；（2）；（3）证明见解析.【思路引导】（1）求出导数，由题意可得代入可得，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；（2）由函数在上为增函数，可得恒成立，既有，当时， ，求得右边函数的最小值，即可得到范围；（3）运用分析法证明，要证，只需证，即证，设，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证.（3）要证，只需证，即证只需证    设，由（2）知在上是单调函数，又，所以，即成立，所以.