高考数学压轴难题归纳总结培优专题2.10 已知不等恒成立，分离参数定最值 (含解析)
展开专题2-10 已知不等恒成立，分离参数定最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。【典例指引】例1 己知函数 SKIPIF 1 < 0 .（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递増，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.法二（直接化为最值＋分类讨论）：令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.而 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立相矛盾.②当 SKIPIF 1 < 0 时，则开口向上(方案一）：Ⅰ.若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .Ⅱ.若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意.法三（缩小范围＋证明不等式）：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .另一方面，当 SKIPIF 1 < 0 时，则有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 适合题意.例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数 SKIPIF 1 < 0 .（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；（Ⅱ）若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.法二（直接化为最值）： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 (导函数为超越函数）； SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 （1）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”)，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，则有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 适合题意.（2）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有唯一实根 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 增函数，又有 SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不适合题意.综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 . 法三（分离参数）： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立（端点 SKIPIF 1 < 0 自动成立），则设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，又因 SKIPIF 1 < 0 ，故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 法四（缩小范围）： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，且 SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 .又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当(当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”)，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，则有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 适合题意.综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 . 点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为1；（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单减， SKIPIF 1 < 0 上单增，而 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾；综上， SKIPIF 1 < 0 .法二（分离参数） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立（端点 SKIPIF 1 < 0 自动成立）设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 [KS5UKS5UKS5U] SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，又因 SKIPIF 1 < 0 ，故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 （2）若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单减， SKIPIF 1 < 0 上单增，而 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾； 综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在 SKIPIF 1 < 0 时得到下确界，值得留意.（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。 （3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数 SKIPIF 1 < 0 分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，而二次函数的零点为 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，又知当 SKIPIF 1 < 0 时，零点 SKIPIF 1 < 0 ，故易得 SKIPIF 1 < 0 ，从而导出矛盾。【扩展链接】洛必达法则简介：法则1 若函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足下列条件：（1) SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；（2）在点 SKIPIF 1 < 0 的去心邻域内， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可导，且 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 .法则2 若函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足下列条件：（1) SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 上可导，且 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 .法则3 若函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足下列条件：（1) SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；（2）在点 SKIPIF 1 < 0 的去心邻域内， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可导且 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 .利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①将上面公式中的 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 洛必达法则也成立。②洛必达法则可处理 SKIPIF 1 < 0 型。③在着手求极限以前，首先要检查是否满足 SKIPIF 1 < 0 型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。【同步训练】1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；（2）若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.[KS5UKS5UKS5U]【思路引导】(1)由题意对函数求导，然后构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，结合函数的性质即可证得题中的结论；(2)结合题意构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .设h（x）= SKIPIF 1 < 0 （x≥e），则h’（x）= SKIPIF 1 < 0 u=lnx- SKIPIF 1 < 0 ，u’ = SKIPIF 1 < 0 在[e，+∞）递增。x=e时，u=1- SKIPIF 1 < 0 ＞0，所以u＞0在[e,+00）恒成立，h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以h（x）[e,+∞）递增x≥e，时h（x）min=h（e）=ee需ea＞ee SKIPIF 1 < 0 a＞e 2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数．（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的极值；（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出 SKIPIF 1 < 0 的极值；（Ⅱ）讨论 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 时，对应函数f（x）的单调性，求出满足 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立时a的取值范围．【详细解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）可得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）. SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，于是当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不成立.综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ． 3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．（Ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；（Ⅱ）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；（Ⅲ）设函数 SKIPIF 1 < 0 ．若对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【思路引导】(Ⅰ) 求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令 SKIPIF 1 < 0 得增区间， SKIPIF 1 < 0 得减区间； （Ⅲ）对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立等价于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，利用导数研究函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，求出其最大值，进而可得结果.【详细解析】（3）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无减区间. 综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无减区间. （Ⅲ）因为对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，等价于 SKIPIF 1 < 0 . 令 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 . 因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.所以 SKIPIF 1 < 0 . 所以 SKIPIF 1 < 0 . 所以 SKIPIF 1 < 0 . 4．已知函数，.(Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.【思路引导】(1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；(2) 易得当时，，设，则，设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；法二：(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；(2)同法一.【详细解析】 (Ⅱ)当时，，即当时，当时，， 设，则，设，则.(1)当时，，从而(当且仅当时，等号成立)在上单调递增，又当时，，从而当时，，在上单调递减，又，从而当时，，即于是当时，， 在上单调递增，又，从而当时，，即 于是当时，，综合得的取值范围为.当变化时，变化情况如下表：恰有三个根，故过点有三条直线与曲线相切.(Ⅱ)同解法一. 5．已知函数（）.（1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；（2）若 对恒成立，求的取值范围.（提示：）【思路引导】(1)考查函数的定义域，且 ，由，得.分类讨论：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为.(2)构造新函数，令 ，，则 ，，分类讨论：①当时，可得.②当时， .综上所述，.【详细解析】②当时，令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取得最大值.故只需，即 ，化简得 ，令，得（）.令 （），则 ，令，，所以在上单调递增，又，，所以，，所以在上单调递减，在上递增，而， ，所以上恒有，即当时， .综上所述，. 6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .(Ⅰ)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；(Ⅱ)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求正整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值.【思路引导】(Ⅰ)由函数的解析式可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合导函数与极值的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是5.【详细解析】 SKIPIF 1 < 0 .∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上递增，在区间 SKIPIF 1 < 0 上递减，又∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∴当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ；∴使命题成立的正整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 . 7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .（1）若 SKIPIF 1 < 0 的一个极值点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极小值；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极值，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.【思路引导】（1）求导,由题意 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求导,酒红色的单调性可得 SKIPIF 1 < 0 ,进而得到 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论,可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值.若 SKIPIF 1 < 0 ，通过讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.【详细解析】 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 . 8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；(2)若任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；(3)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .【思路引导】(1) 求导,易得结果为 SKIPIF 1 < 0 ;(2) 原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,分 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三种情况讨论函数的单调性,则可得结论;(3) 利用定积分求出m的值,由(2)知,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , 令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求导并判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性,求出 SKIPIF 1 < 0 , 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立, 令 SKIPIF 1 < 0 ,则结论易得.【详细解析】且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 递增，∴ SKIPIF 1 < 0 (不符合题意)综上： SKIPIF 1 < 0 . 9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数).(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.【思路引导】(1) SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论 SKIPIF 1 < 0 的符号，则可得结论；(2) 当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，并且求出最小值，则可得结论.【详细解析】 (1) SKIPIF 1 < 0 ①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；②若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增10．设函数.（1）当时,求函数在点处的切线方程；（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）把 SKIPIF 1 < 0 代入函数解析式，求导后得到函数在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数的导函数，导函数在 SKIPIF 1 < 0 处，的导数为零，然后由导函数的导函数在 SKIPIF 1 < 0 上大于零求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，就是满足函数 SKIPIF 1 < 0 恒成立的实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.【详细解析】（1）当时,由，则 函数在点处的切线方程 为 即 [KS5UKS5U] 11．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数.（Ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .【思路引导】（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值，由此得到 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；（II）将原不等式 SKIPIF 1 < 0 ，转化为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的导数，对 SKIPIF 1 < 0 分成 SKIPIF 1 < 0 两类，讨论函数的最小值，由此证得 SKIPIF 1 < 0 ，由此证得 SKIPIF 1 < 0 .【详细解析】（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），以下证明当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值大于0.求导得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 且使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， 12．已知函数（）与函数有公共切线．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围．【思路引导】（1）函数与有公共切线， 函数与的图象相切或无交点，所以找到两曲线相切时的临界值，就可求出参数的取值范围。（2）等价于在上恒成立，令，x>0,继续求导，令，得。可知的最小值为>0,把上式看成解关于a的不等式，利用函数导数解决。【详细解析】[KS5UKS5U.KS5U（Ⅰ），．∵函数与有公共切线，∴函数与的图象相切或无交点．当两函数图象相切时，设切点的横坐标为（），则，（Ⅱ）等价于在上恒成立，令，因为，令，得，所以的最小值为，令，因为，令，得，且[KS5UKS5UKS5U]所以当时，的最小值，当时，的最小值为 ，所以．综上得的取值范围为．13．已知函数，.（1）求证：（）；（2）设，若时，，求实数的取值范围.【思路引导】（1）即证恒成立，令求导可证；（2），．又 ，因为时，恒成立，所以，所以只需考虑。又，所以下证符合。【详细解析】②当时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 极大值 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 极小值 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 极小值极大值
