高考数学压轴难题归纳总结培优专题3.4 目标范围与最值函数处理最相宜 (含解析)

【题型综述】

圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题关键是选取合适的变量建立目标函数，转化函数的取值范围与最值问题，其求解策略一般有以下几种：①几何法：若目标函数有明显几何特征和意义，则考虑几何图形的性质求解；②代数法:若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.

【典例指引】

类型一  角的最值问题

例1 【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

【解析】（I）由题意知 ，，所以 ，

因此 椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，联立方程

得，由题意知，且，

所以 .

由题意可知圆的半径为

由题设知，所以因此直线的方程为.

因此 ，

当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，因此，

所以 最大值为.综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.

类型二   距离的最值问题

例2.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．

【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．

令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．

类型三   几何图形的面积的范围问题

例3【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

【解析】（Ⅰ）因为,,故,

所以,故.

又圆的标准方程为,从而,所以.

由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：

（）.

（Ⅱ）当与轴不垂直时,设的方程为,,.

由得.

可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.

当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.

综上,四边形面积的取值范围为.

类型四   面积的最值问题

例4.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；

（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

（i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.

【解析】（Ⅰ）由题意知，可得：.

因为抛物线的焦点为，所以，

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）（i）设，由可得，

所以直线的斜率为，

因此直线的方程为，即.

设，联立方程

得，

由，得且，

（ii）由（i）知直线方程为，

令得，所以，

又，

所以，

，

所以，

令，则，

当，即时，取得最大值，此时，满足，

所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.

【扩展链接】

1.过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

2.若椭圆 (a＞0, b＞0)与直线交于，则

  （1）

   （2），，

（3），.

【同步训练】

1．已知椭圆（）的离心率，椭圆过点

（1）求椭圆的方程；

（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.

【思路点拨】（1）由椭圆的离心率得到a，b的关系，再由椭圆过定点P得另一关系式，联立后求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系及弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出AB边上的高，代入面积公式后利用基本不等式求最值．

【详细解析】（1）∵，∴，

∵椭圆过点，∴，

当且仅当，即时取得最大值2.

2.已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，为椭圆的离心率，且点为椭圆短半轴的上顶点，为等腰直角三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作不与坐标轴垂直的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当且时，求的面积的取值范围.

【思路点拨】（1）根据条件列出关于两个独立条件：，，解方程组可得，（2）设直线的方程为，，将条件用坐标表示，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简条件得．因为，所以利用韦达定理计算．最后根据自变量范围，利用对勾函数求函数值域.

【详细解析】（1）由是等腰直角三角形，得，   

从而得到，故而椭圆经过，       

代入椭圆方程得，解得，  

所求的椭圆方程为．    

（2）由（1）知，由题意，设直线的方程为，

，

由得，

则                

．

∵，∴，解得．  

由消得．

设，

，，

则

．                

设，则，其中，    

∵关于在上为减函数，               

∴，即的面积的取值范围为．

3.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.

【思路点拨】（1）由已知求得，再由椭圆离心率及隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得，再由，可得，从而求得的范围，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，则取值范围可求．

【详细解析】（1）设焦距为，由已知， ，∴，又，解得，∴椭圆的标准方程为；

（2）设， ，联立得，依题意， ，化简得，①， ， ， ，若，则，即，∴，

∴，即，化简得，②，由①②得， ，∵原点到直线的距离，∴，又∵，∴，

∴原点到直线的距离的取值范围是

4.已知椭圆C：的左、右焦点分别是，离心率为，过右焦点的直线与椭圆C相交于A、B两点，的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求面积的最大值．

【思路点拨】（1）由△F1AB的周长可得的值，再由离心率的值可得，由的关系可得的值，由此可得椭圆的方程；（2）可设的坐标及直线的方程,则的面积可转化为求， 联立椭圆与直线的方程可得，由基本不等式即可得的面积的最大值.

【详细解析】(1)∵△F1AB的周长为8，

∴4a＝8，∴a＝2，

又椭圆C的离心率e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝1.

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由题设知，直线l不能与x轴重合，故可设直线l的方程为x＝my＋ (m∈R)．

由，得(m2＋4)y2＋2my－1＝0.

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

5.已知椭圆过点，椭圆的左焦点为，右焦点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，且，直线与直线分别交于两点．

（1）求椭圆的方程及线段的长度的最小值；

（2）是椭圆上一点，当线段的长度取得最小值时，求的面积的最大值．

【思路点拨】（1）由椭圆和抛物线y2＝4x有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆C的方程；
（2）根据（1）写出点A，B，设点P和直线AP，BP的方程，并且与直线y=3分联立，求出G，H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求, 当平行于的直线与椭圆下方相切时， 的面积取最大值,求此时三角形面积即可.

【详细解析】（1）由，得，所以，

又椭圆过点，

所以，解得，

故椭圆的方程为，

设点，则由，得，

即，则，

由，得，

所以线段的长度取得最小值.

当平行于的直线与椭圆下方相切时， 的面积取最大值，

设直线，则由，得，

则，所以，或（舍去）．

由平行线间的距离公式，得此时点到直线的距离.

故，

即的面积的最大值为.

6.已知椭圆的离心率为，点， ， 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线： 被圆： 所截得的弦长为，若直线与椭圆交于， 两点，求面积的最大值．

【思路点拨】（1）利用离心率可以得出的关系，化为的关系，再利用的面积列出的方程，借助解出，写出椭圆方程；（2）联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式表示出弦长，写出面积，利用换元法和配方法求出最值.

【详细解析】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆标准方程为，则，所以，即，可得，

，

∴，∴， ，

所以椭圆的方程为．

（2）由题意知，圆心到直线的距离为1，即，所以．　

由消去，得，

∴，所以，

设， ，则， ，

所以

，

所以的面积为 ，

令，

则，

所以当，即时， 面积取到最大值1．

7.如图，在平面直角坐标系中，已知圆： ，点，点（），以为圆心， 为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点.

（1）当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；

（2）已知直线 过点 ，且与曲线交于 两点，记面积为， 面积为，求的取值范围.

【思路点拨】（1）推导出△QAB≌△QPB，从而QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点， 的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．
（2）设直线l：x=my-1，设M（x1，y1），N（x2，y2），推导出，由得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件求出的取值范围.

【详细解析】（1）∵， ， ，

∴≌，∴，

∵，

由椭圆的定义可知， 点的轨迹是以， 为焦点， 的椭圆，

故点的轨迹方程为.

∵，即，

∴，

∴ .

8.已知抛物线过点（2,1）且关于轴对称.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，且圆与轴交于两点，设，求的最大值.

【思路点拨】（1）设出抛物线的标准形式，代入已知点坐标即可求解；

（2）设M（a，b），则a2=4b．半径R=，可得 M的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2，令y=0，解得x，可得A，B．利用两点之间的距离公式可得：l1，l2，代入利用基本不等式的性质即可得出．

（2）设圆M的圆心坐标为，则①

圆M的半径为

圆M的方程为

令，则

整理得②

由①②解得，

不妨设，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

当时，，

综上可知，当时，所求最大值为.

9.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）

（1）求动点的轨迹方程；

（2）当时，得到动点的轨迹为曲线，斜率为1的直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值.

【思路点拨】（1）根据条件用Q点坐标表示A点坐标，再代入化简可得的轨迹方程；（2）设直线的方程为，根据点到直线距离公式可得三角形的高，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式可得三角形底边边长，再根据三角形面积公式可得，最后根据基本不等式求最大值

【详细解析】（1）设动点，则，且，①

又，得，

代入①得动点的轨迹方程为．

（2）当时，动点的轨迹曲线为．

设直线的方程为，代入中，

得，

由，∴，

设，，

∵点到直线的距离，，

，

当且仅当，即时取到最大值．

∴面积的最大值为．

10.已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）若，求的最小值．

【思路点拨】（1）根据抛物线的定义知，，

∵，从而可求出，进而可得结果；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，根据韦达定理，弦长公式将用 表示，换元后利用基本不等式可得结果.

【详细解析】（1）根据抛物线的定义知，，

∵，

∴，

∴．

（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，

∵，即，

∴，即，

∴，

∴，，

，

，

∴，

令，，则．

11.已知椭圆经过，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点作直线交椭圆于两点，求四边形面积的最大值（为坐标原点）.

【思路点拨】（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质  ，求出 、 、，即可得结果；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得： ，根据韦达定理及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果.

【详细解析】（1）由题设得： ，解得：

椭圆方程为.

，其中.

，其中.

时， 单调递增， （当时取等号）.

12.已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上.

（1）求抛物线的方程；

（2）若轴上存在一点，使线段经过点时，以为直径的圆经过原点，求的值；

（3）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值.

【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；
（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m的值；
（3）设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，则有， ，所以， ， ，由，即，进而化简求出，得： ， ，即可求得△ABD面积的最小值．

【详细解析】（1）设抛物线的方程为，抛物线的焦点为，则，所以，

则抛物线的方程为.

（2）设直线的方程为，要使以为直径的圆经过原点，则只需即可，

联立方程 ，则， ，

，

解得： .

（3）如图所示，

即，将代入得：

进而化简求出，得： ，

则，可以先求的最小值即可，

，令，

则

，

所以可以得出当即时， 最小值为，此时，

即当， ， 时， 为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.