高考数学压轴难题归纳总结培优专题3.14 探究图形之性质代数运算是利器 (含解析)

这是一份高考数学压轴难题归纳总结培优专题3.14 探究图形之性质代数运算是利器 (含解析)，共24页。
【题型综述】探究图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一 面积计算例1 【2016高考上海理数】（本题满分14） 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图（1）求菜地内的分界线的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．类型二  四边形形状探究例2. 【2015高考新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．  (Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． ．解得，．因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．类型三 探究角是否相等例3【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ），则，存在点使得.类型四  探究两直线的位置关系例4.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【扩展链接】1.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；2.给出,等于已知是的平分线；3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;5.已知抛物线方程为，定点M，直线过点M交抛物线于A，B两点，，则有 ；【同步训练】1．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）设出P的坐标，利用|OP|的值求得x0和y0的关系式，同时利用求得x0和y0的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m的值．假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则．====由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1．因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．【思路点拨】（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）． AE所在直线方程为，取x=0，得y=，∴M（0，）．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=， 3.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的斜率不为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（3）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆的性质可知：4a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；（2）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1•x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，yQ=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的纵坐标的范围；（3）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，+=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．【详细解析】（1）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，e==，c=1，b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，∴椭圆的方程；（3）存在m=4，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，kMA+kMB=0，即+=0，k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，解得：m=4．4.已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【思路点拨】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．5.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．【思路点拨】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求；（2）设P（x0，2）（x0≠0），当x0=时和x0=﹣时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x0≠±时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上． PA1所在直线方程为（2+x0）x﹣（x0﹣6）y﹣x02﹣12=0．此时原点O到该直线的距离d==，∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上．综上可得，点A在椭圆C上． 另解：设切点为（x0，y0），由圆上一点的切线方程可得切线l的方程为x0x+y0y=3，代入y=2，可得x=，即有P（，2），kOP=，与OP垂直的直线，且过O的直线为y=x，代入x0x+y0y=3，结合x02+y02=3，可得x=，y=，即为A（，），由3（）2+4（）2==12，则点A在椭圆C上．6.已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=，∠F1AF2的平分线所在直线为l．（1）求椭圆E的方程；（2）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入椭圆E的方程，求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上，即可得到结论． 7.）如图，已知F1、F2是椭圆G：的左、右焦点，直线l：y=k（x+1）经过左焦点F1，且与椭圆G交于A、B两点，△ABF2的周长为．（1）求椭圆G的标准方程；（2）是否存在直线l，使得△ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由题意可知：c=1，4a=4，b2=a2﹣c2=3﹣1=2．即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，假设|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得x1+x2=6．（与x1≤，x2≤，x1+x2≤2＜6，矛盾），将直线方程代入椭圆方程由韦达定理：=6，矛盾．故|AF2|≠|BF2|．再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．由勾股定理得：，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．（2）不存在．理由如下：先用反证法证明AB不可能为底边，即|AF2|≠|BF2|．由题意知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），假设|AF2|=|BF2|，则，又，，代入上式，消去，得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣6）=0．因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以x1≠x2，故x1+x2=6（与x1≤，x2≤，x1+x2≤2＜6，矛盾）．联立方程，得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，所以=6，矛盾．故|AF2|≠|BF2|．再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．假设△ABF2为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点．设|AF1|=m，则，在△AF1F2中，由勾股定理得：，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．8.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（，1），过点A（0，1）的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）将点（，1）代入椭圆方程，设左焦点为（﹣c，0），再由斜率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）假设存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．当直线MN的斜率为0时，由对称性可得B在y轴上，设为B（0，t），设直线MN的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，设M（x1，y1），N（x2，y2），由假设可得kBM+kBN=0，化简整理，可得t+2m=0，故不存在这样的定点B．即有2my1y2+（y1+y2）=t[m（y1+y2）+2]，即为﹣=t（﹣+2），化为﹣8m=4t，即t+2m=0，由于m为任意的，则t不为定值．故不存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．9.已知椭圆E的方程是+=1，左、右焦点分别是F1、F2，在椭圆E上有一动点A，过A、F1作一个平行四边形，使顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．（Ⅰ） 判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．（Ⅱ） 当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．【思路点拨】（1） 设直线方程，代入椭圆方程，若四边形ABCD能否为菱形，则OA⊥OB，由向量数量积的坐标运算，整理可知=0，方程无实数解，故四边形ABCD不能是菱形；（2）由三角形的面积公式SABCD=2丨OF1丨丨y1﹣y2丨=2，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算，函数的单调性即可求得ABCD的面积取到最大值及m的值．（2）由题SABCD=4S△AOB，而S△AOB=丨OF1丨丨y1﹣y2丨，又丨OF1丨=1，即SABCD=2丨OF1丨丨y1﹣y2丨=2，…（8分）由（Ⅰ）知y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴SABCD=2==24，∵函数，t∈[1，+∞），在t=1时，f（t）min=10，…（11分）∴SABCD的最大值为6，此时m2+1=1，即m=0时，此时直线AB⊥x轴，即ABCD是矩形．…（12分）10.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点A（0，3），与双曲线=1有相同的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c，由A点，可得b，求得a，即可得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣，直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，求得P的坐标，k换为﹣，可得Q的坐标，求出直线PQ的斜率，以及方程，整理可得恒过定点．【详细解析】（1）双曲线=1的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），可得椭圆中的c=3，由椭圆过点A（0，3），可得b=3，则a==6，则椭圆的方程为+=1； 11.如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证：+为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【思路点拨】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…（4分）同理：CD=，…（4分）∴===．综上：=．故+为定值．…（6分） 12.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求E的方程；（2）是否存在直线l：y=kx+m相交于P，Q两点，且满足：①OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l与圆x2+y2=1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式求得a2=4b2，将点（1，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，求得m2+k=1，由，即可求得k的取值范围，由点到直线的距离即可求得k和m的值，求得直线l的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由x1+x2=﹣，x1x2=，由kOP+kOQ=+===2，2（k﹣1）x1x2+m（x1+x2）=0，∴2（k﹣1）×+m×（﹣）=0，整理得：m2+k=1，由△=16（4k2﹣m2+1）=16（4k2+k），，解得：k＜﹣，或0＜k≤1，直线与圆x2+y2=1相切，则=1，联立解得k=0（舍去），k=﹣1，∴m2=2，即m=±，∴直线l的方程y=x±．