新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第1章 微专题1 集合的新定义问题(含解析)

微专题1　集合的新定义问题

集合新定义问题的类型：

(1)新定义性质，(2)新定义运算．

解决集合新定义问题的着手点：

(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．

(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．

(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．

一、新定义集合的概念

例1　若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.

则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：

①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；

②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；

③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；

④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．

其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________．

答案　②④

解析　①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，因为{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；

②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义；

③因为{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的一个拓扑；

④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.

二、新定义集合的性质

例2　(1)若集合A具有以下性质：

①0∈A,1∈A；

②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.

则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.

其中，正确说法的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．

②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．

③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.

(2)若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”．则(　　)

A．{1,3,4}为“权集”

B．{1,2,3,6}为“权集”

C．“权集”中元素可以有0

D．“权集”中一定有元素1

答案　B

解析　对于A，由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；对于B，选1,2时，有1×2属于{1,2,3,6}，同理取1,3，取1,6，取2,3时也满足，取2,6时，有属于{1,2,3,6}，取3,6时，有属于{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”定义知1≤a1<a2<…<an且需要有意义，故不能有0，故C不正确；如集合{2,4}，符合“权集”定义，但不含1，故D不正确．

三、新定义集合的运算

例3　(1)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则集合A⊗B的真子集个数为(　　)

A．8  B．7  C．16  D．15

答案　B

解析　由A＝{，}，B＝{1，}，得A⊗B有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四种运算情况，则由集合中元素的互异性可知，集合A⊗B中有3个元素1,0,2，故集合A⊗B的真子集为∅，{1}，{0}，{2}，{1,0}，{1,2}，{0,2}，共7个．

(2)已知集合A＝{x∈N|－1≤x≤3}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　)

A．15  B．16  C．20  D．21

答案　D

解析　易知集合A＝{0,1,2,3}．

∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，

∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，

∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，

∴A*B中的所有元素之和为21.