新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第1章 章末复习课(含解析)

章末复习课

一、集合的概念与运算

1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．

2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例1　(1)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　)

A．3   B．2

C．2或3   D．0或2或3

答案　D

解析　当m＝0时，方程mx－6＝0无解，

B＝∅，满足B⊆A；

当m≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2.

(2)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

①若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

②是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

解　①∵A＝{x|0≤x≤2}，

∴∁RA＝{x|x<0或x>2}．

∵(∁RA)∪B＝R，

∴∴－1≤a≤0.

∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．

②由(1)知(∁RA)∪B＝R时，

－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，

∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．

即这样的a不存在．

反思感悟　集合基本运算的关注点

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

跟踪训练1　(1)(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)

A．A∩B＝

B．A∩(∁RB)＝

C．A∪B＝

D．(∁RA)∪B＝R

答案　AB

解析　因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝，∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝，

所以A∩B＝，A∩(∁RB)＝，A∪B＝{x|x<2}，(∁RA)∪B＝.

(2)已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　联立解得或

因此M∩N中的元素个数为2.

二、充分条件与必要条件

1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；

若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．

2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养．

例2　(1)设x∈R，则“x>3或x<0”是“x>4”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　由x>3或x<0，推不出x>4，

但当x>4时，不等式x>3或x<0成立．

(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　∵q是p的充分不必要条件，

∴BA，

∴或

解得－≤a<0或a≤－4.

∴a的取值范围为.

反思感悟　充要条件的常用判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．

(2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．

跟踪训练2　(1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　|x－2|<1⇔1<x<3，

由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，

所以“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的充分不必要条件．

(2)若－a<x<－1成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．

答案　a>2

解析　根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，

应有{x|－2<x<－1}{x|－a<x<－1}，

所以－a<－2，解得a>2.

三、全称量词命题与存在量词命题

1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．

2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养．

例3　(1)命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)

A．∀x∉R，x2≠x

B．∀x∈R，x2≠x

C．∃x∉R，x2≠x

D．∃x∈R，x2＝x

答案　D

解析　先将“∀”改为“∃”，再否定结论，可得命题的否定为∃x∈R，x2＝x.

(2)设命题p：∀x∈R，ax2＋x＋2>0，若綈p为假命题，则实数a的取值范围是________．

答案　a>

解析　因为綈p为假命题，所以命题p是真命题，

所以解得a>.

反思感悟　全称量词命题与存在量词命题问题的关注点

(1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论．

(2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决．

跟踪训练3　(1)命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是____________________________________________．

答案　所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0

解析　把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．

(2)命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立．若命题p为真命题，求实数a的取值范围．

解　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；

当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.

综上可得a≥－1，即实数a的取值范围是{a|a≥－1}．

1．(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA等于(　　)

A．{1,6}  B．{1,7}  C．{6,7}  D．{1,6,7}

答案　C

解析　∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，

∴∁UA＝{1,6,7}．

又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}．

2．(2019·全国Ⅱ改编)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于(　　)

A．{x|x>－1}   B．{x|x<2}

C．{x|－1<x<2}   D．∅

答案　C

解析　A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．

3．(2019·北京改编)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B等于(　　)

A．{x|－1<x<1}   B．{x|1<x<2}

C．{x|x>－1}   D．{x|x>1}

答案　C

解析　将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．

由图可得A∪B＝{x|x>－1}．

4．(2019·天津)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　由|x－1|<1可得0<x<2，所以“|x－1|<1的解集”是“0<x<5的解集”的真子集．故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．

5．(2016·上海)设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　a>1⇒a2>1，a2>1⇒a>1或a<－1，

所以“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件．