新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.1.1 任意角(含解析)

§5.1　任意角和弧度制

5．1.1　任意角

学习目标　1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．

知识点一　任意角

1．角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．

2．角的表示：

如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.

3．角的分类：

知识点二　角的加法与减法

设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．

(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.

(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．

知识点三　象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

思考　“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？

答案　锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．

知识点四　终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

思考　终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？

答案　终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同．

1．第二象限角是钝角．(　×　)

2．终边与始边重合的角为零角．(　×　)

3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　√　)

一、任意角的概念

例1　(多选)下列说法，不正确的是(　　)

A．三角形的内角必是第一、二象限角

B．始边相同而终边不同的角一定不相等

C．钝角比第三象限角小

D．小于180°的角是钝角、直角或锐角

答案　ACD

解析　A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；

B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；

C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；

D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．

反思感悟　理解与角的概念有关问题的关键

正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．

跟踪训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)

A．60°，720°   B．－60°，－720°

C．－30°，－360°   D．－60°，720°

答案　B

解析　钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.

二、终边相同的角

例2　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．

(1)最小的正角；

(2)最大的负角；

(3)－360°～720°之间的角．

解　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，

即－1 845°角与－45°角的终边相同，

所以与角α终边相同的角的集合是

{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，

(1)最小的正角为315°.

(2)最大的负角为－45°.

(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.

反思感悟　终边相同的角的表示

(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．

(2)终边相同的角相差360°的整数倍．

跟踪训练2　(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于(　　)

A．120°＋k·360°，k∈Z

B．120°＋k·180°，k∈Z

C．240°＋k·360°，k∈Z

D．240°＋k·180°，k∈Z

答案　B

解析　角2α与240°角的终边相同，

则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，

则α＝120°＋k·180°，k∈Z.

(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　)

A．－37°  B．143°  C．379°  D．－143°

答案　D

解析　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.

三、象限角及区域角的表示

例3　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　)

A．－200°  B．100°  C．220°  D．420°

答案　AB

解析　－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角．

(2)如图所示．

①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；

②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

解　①终边落在射线OA上的角的集合是

{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．

终边落在射线OB上的角的集合是

{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．

②终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是

{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．

(学生)

反思感悟　(1)象限角的判定方法

①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．

②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．

(2)表示区域角的三个步骤

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.

第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．

跟踪训练3　已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．

解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．

确定nα及所在的象限

典例　已知α是第二象限角：

(1)求角所在的象限；

(2)求角2α所在的象限．

解　　(1)方法一　∵α是第二象限角，

∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．

∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．

当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得

n·360°＋45°<<n·360°＋90°，

这表明是第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得

n·360°＋225°<<n·360°＋270°，

这表明是第三象限角．

∴为第一或第三象限角．

方法二　如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角．

(2)∵k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．

∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．

∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．

[素养提升]　分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．

1．与－30°终边相同的角是(　　)

A．－330°  B．150°  C．30°  D．330°

答案　D

解析　因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.

2．2 020°是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　C

解析　2 020°＝5×360°＋220°，

所以2 020°角的终边与220°角的终边相同，为第三象限角．

3．与－460°角终边相同的角可以表示成(　　)

A．460°＋k·360°，k∈Z   B．100°＋k·360°，k∈Z

C．260°＋k·360°，k∈Z   D．－260°＋k·360°，k∈Z

答案　C

解析　因为－460°＝260°＋(－2)×360°，

故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.

4．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)

A．120°  B．－120°  C．－60°  D．60°

答案　B

解析　由于时针是顺时针旋转，

故时针转过的角度为负数，

即为－×360°＝－120°.

5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________．

答案　{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}

解析　观察图形可知，角α的集合是

{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．

1．知识清单：

(1)任意角的概念．

(2)终边相同的角．

(3)象限角、区域角的表示．

2．方法归纳：数形结合、分类讨论．

3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.

1．(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　)

A．160°  B．480°  C．－960°  D．1 530°

答案　ABC

解析　160°是第二象限角；

480°＝120°＋360°是第二象限角；

－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；

1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．

2．与－457°角的终边相同的角的集合是(　　)

A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}

C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}

D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}

答案　C

3．下面各组角中，终边相同的是(　　)

A．390°，690°   B．－330°，750°

C．480°，－420°    D．3 000°，－840°

答案　B

解析　因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，

所以－330°与750°终边相同．

4．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　C

解析　可以给α赋一特殊值－60°，

则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．

5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)

A．{α|－45°≤α≤120°}

B．{α|120°≤α≤315°}

C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}

D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}

答案　C

解析　如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．

6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．

答案　－1 030°

解析　顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.

又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.

7．与－2 020°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________．

答案　140°　－220°

解析　因为－2 020°＝－6×360°＋140°，

140°－360°＝－220°，

所以最小正角为140°，最大负角为－220°.

8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．

答案　120°，300°

解析　与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.

∵所求角在0°～360°范围内，

∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，

解得≤k≤，k∈Z，

∴k＝1或2，

当k＝1时，β＝120°，

当k＝2时，β＝300°.

9．已知α＝－1 910°.

(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.

解　(1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．

(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，

取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．

250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.

故θ＝－110°或θ＝－470°.

10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．

解　先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得

(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．

(2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．

11．(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　AC

解析　当k＝2m＋1(m∈Z)时，

α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，

故α为第三象限角；

当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，

故α为第一象限角．

故α在第一或第三象限．

12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)

A．90°－α   B．90°＋α

C．360°－α   D．180°＋α

答案　C

解析　方法一　特例法，取α＝30°，可知C正确．

方法二　因为α是第一象限角，所以k·360°<α<90°＋k·360°(k∈Z)，所以270°＋k·360°<360°－α<360°＋k·360°(k∈Z)，故360°－α是第四象限角．

13．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)

A．{α|α＝k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

C．{α|α＝k·180°，k∈Z}

D．{α|α＝k·90°，k∈Z}

答案　D

解析　终边在坐标轴上的角大小为90°的整数倍，

所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．

14．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________.

答案　270°

解析　∵角5α与α具有相同的始边与终边，

∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，

∴α＝k·90°，k∈Z，

又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°，

解得2<k<4，又k∈Z，∴k＝3.∴当k＝3时，α＝270°.

15．设集合M＝，N＝，那么(　　)

A．M＝N   B．N⊆M

C．M⊆N   D．M∩N＝∅

答案　C

解析　由题意得M＝＝，

即M是由45°的奇数倍构成的集合，

又N＝

＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}，

即N是由45°的整数倍构成的集合，

∴M⊆N.

16．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

解　由题意可知

α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.

∵α，β为锐角，

∴0°<α＋β<180°.

取k＝1，得α＋β＝80°，①

α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.

∵α，β为锐角，

∴－90°<α－β<90°.

取k＝－2，得α－β＝－50°，②

由①②得α＝15°，β＝65°.