新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(含解析)

§5.4　三角函数的图象与性质

5．4.1　正弦函数、余弦函数的图象

学习目标　1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．

知识点　正弦函数、余弦函数的图象

思考　为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？

答案　由诱导公式一知sin(x＋2kπ)＝sin x，

cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．

1．正弦函数的图象向左右是无限伸展的．(　√　)

2．正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．(　√　)

3．函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝cos x的图象．(　×　)

4．函数y＝cos x的图象关于x轴对称．(　×　)

一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识

例1　(1)下列叙述正确的个数为(　　)

①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；

②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；

③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　D

解析　分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．

(2)函数y＝sin |x|的图象是(　　)

答案　B

解析　y＝sin |x|＝

结合选项可知选B.

反思感悟　解决正弦、余弦函数图象的注意点

对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．

跟踪训练1　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(　　)

A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到

B．都是对称图形

C．都与x轴有无数个交点

D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称

答案　A

解析　由正弦、余弦函数图象知，B，C，D正确．

二、用“五点法”作三角函数的图象

例2　用“五点法”作出下列函数的简图：

(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；

(2)y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]．

解　(1)列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．

(2)列表：

描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象．

(学生留)

反思感悟　作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤

跟踪训练2　利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．

解　列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．

三、正弦函数、余弦函数图象的应用

例3　不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]解集为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　因为2sin x－1≥0，所以sin x≥.

在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及直线y＝的图象．由函数的图象知，sin ＝sin ＝.

所以根据图象可知，sin x≥的解集为.

延伸探究

1．在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．

解　在x∈[0,2π]上的解集为.

所以x∈R时，不等式的解集为.

(教师留)

2．试求关于x的不等式<sin x≤.

解　作出正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象，作出直线y＝和y＝，如图所示．

由图可知，在[0,2π]上当<x≤或≤x<时，不等式<sin x≤成立，所以原不等式的解集为.

反思感悟　利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤

(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．

(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值．

(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集．

(4)根据公式一写出定义域内的解集．

跟踪训练3　求函数y＝的定义域．

解　依题意有1－2cos x≥0，即cos x≤.

作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]以及直线y＝的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为.

根据函数图象求范围

典例　函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．

答案　(1,3)

解析　f(x)＝图象如图所示．

结合图象可知1<k<3.

[素养提升]　关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决，体现了直观想象的核心素养．

1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　)

答案　B

解析　y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.

2．用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是(　　)

A．0，，，，π   B．0，，π，，2π

C．0，π，2π，3π，4π   D．0，，，，

答案　B

解析　所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π，故选B.

3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　)

A．重合   B．形状相同，位置不同

C．关于y轴对称   D．形状不同，位置不同

答案　B

解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．

4．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是(　　)

A．(0，π)  B.  C.  D.

答案　C

解析　画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．

当sin x＝－时，x＝或x＝，

可知不等式sin x<－在[0,2π]上的解集是.故选C.

5．函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．

答案　，

解析　由得cos x＝0，

当x∈[0,2π]时，x＝或，

∴交点坐标为，.

1．知识清单：

(1)正弦函数、余弦函数的图象．

(2)“五点法”作图．

(3)函数图象的应用．

2．方法归纳：数形结合．

3．常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象．

1．(多选)用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　)

A.  B.  C．(π，0)  D．(2π，3)

答案　AD

解析　五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.代入计算得B，C是关键点．

2．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)

答案　D

解析　函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.

3．已知函数f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象(　　)

A．与g(x)的图象相同

B．与g(x)的图象关于y轴对称

C．向左平移个单位长度，得g(x)的图象

D．向右平移个单位长度，得g(x)的图象

答案　D

解析　f(x)＝sin，

g(x)＝cos＝cos＝sin x，

f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象．

4．在[0,2π]上，函数y＝的定义域是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0,2π]上的图象及直线y＝，如图所示．

由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是，故选B.

5．函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝交点的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，

可知其与直线y＝有2个交点．

6．函数f(x)＝sin x－1，x∈[0,2π]的零点为________．

答案　

解析　令f(x)＝0，∴sin x＝1，∴又x∈[0,2π]，∴x＝.

7．已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点，则m＝________；若f(x)<0，则x的取值集合为________．

答案　1　

解析　当x＝时，f(x)＝2cos ＋1＝1，∴m＝1.

f(x)<0，即cos x<－，

作出y＝cos x在x∈[0,2π]上的图象，如图所示．

由图知x的取值集合为.

8．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．

答案　[－1,0]

解析　因为sin x∈[－1,1]，所以－1≤2m＋1≤1，

故－1≤m≤0.

9．用“五点法”作出下列函数的图象y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]．

解　列表：

描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象如图所示：

10．根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0，2π]．

解　函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：

根据图象可得不等式的解集为

.

11．(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]与y＝a有一个交点，则a的值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．－2

答案　BD

解析　画出y＝sin x－1的图象．如图．

依题意a＝0或a＝－2.

12．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为(　　)

答案　D

解析　由题意得y＝

13．方程sin x＝的根的个数是(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

答案　A

解析　在同一平面直角坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示．

根据图象可知方程有7个根．

14．函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为________________．

答案　∪∪

解析　由题意，得x满足不等式组即作出y＝cos x的图象，如图所示．

结合图象可得x∈∪∪.

15．函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．

答案　4π

解析　如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.

16．若方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．

解　在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象，y＝的图象，

由图象可知，当≤<1，即当－1<a≤1－时，y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈上有两个实数根．