新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.5.1 第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(含解析)

第3课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

学习目标　 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．

知识点　两角和与差的正切公式

1．tan 105°的值为________．

答案　－2－

2．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝________.

答案　

3．若tan α＝2，则tan＝________.

答案　－3

4.＝________.

答案　

一、化简求值

例1　化简求值：

(1)；

(2)；

(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.

解　(1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.

(2)原式＝

＝tan(45°＋15°)

＝tan 60°＝1.

(3)∵tan 60°＝＝，

∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，

∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.

(学生留)

反思感悟　利用公式T(α±β)化简求值的两点说明

(1)分析式子结构，正确选用公式形式：

T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．

(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：

当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．

跟踪训练1　化简求值：

(1)；

(2)tan 10°·tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)．

解　(1)＝

＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.

(2)∵tan(10°＋20°)＝＝，

∴tan 10°＋tan 20°＝(1－tan 10°·tan 20°)．

∴原式＝tan 10°·tan 20°＋×(1－tan 10°·tan 20°)

＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°tan 20°

＝1.

二、给值求值(角)

例2　(1)已知tan＝，则tan α＝________.

答案　

解析　tan＝tan＝.

方法一　＝，解得tan α＝.

方法二　tan α＝tan＝＝＝.

(2)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

解　∵tan β＝－，tan(α－β)＝，

∴tan α＝tan[(α－β)＋β]

＝

＝＝，

tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]

＝

＝＝1.

∵tan α＝>0，tan β＝－<0，

∴α∈，β∈，∴α－β∈(－π，0)．

又∵tan(α－β)＝>0，

∴α－β∈，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．

而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－π.

反思感悟　(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．

(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．

跟踪训练2　已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π，

求：(1)tan(α－β)的值；

(2)角α＋β的值．

解　(1)tan(α－β)＝

＝＝7.

(2)∵tan(α＋β)＝＝

＝－1，

又0<α<，<β<π，

∴<α＋β<π，

∴α＋β＝π.

三、两角和与差的正切公式的综合应用

例3　△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状．

解　依题意

∴tan A>0，tan B>0，又A，B，C∈(0，π)，

∴A∈，B∈，

又tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)

＝－＝－＝－6<0.

∴C∈，

∴△ABC为钝角三角形．

反思感悟　当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围．

跟踪训练3　如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．

解　由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝，

解得BP＝a，

设∠APB＝α，∠DPC＝β，

则tan α＝＝，tan β＝＝，

∴tan(α＋β)＝＝－18，

∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.

1．tan 255°等于(　　)

A．－2－   B．－2＋

C．2－   D．2＋

答案　D

解析　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°

＝tan(45°＋30°)＝

＝＝2＋.

2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于(　　)

A.  B．－  C．1  D．－1

答案　A

解析　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.

3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.

答案　

解析　∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，

∴tan(A＋B)＝＝＝1.

又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝.

4．计算tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°＝________.

答案　

解析　原式＝tan(72°－42°)(1＋tan 72°tan 42°)－tan 72°tan 42°

＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42°

＝tan 30°＝.

5．计算＝________.

答案　1

解析　＝＝tan 45°＝1.

1．知识清单：

(1)两角和与差的正切公式的推导．

(2)公式的正用、逆用、变形用．

2．方法归纳：转化法．

3．常见误区：公式中加减符号易记错．

1．与相等的是(　　)

A．tan 66°  B．tan 24°  C．tan 42°  D．tan 21°

答案　B

解析　原式＝＝tan(45°－21°)

＝tan 24°.

2．(多选)已知cos α＝－，则tan等于(　　)

A．－  B．－7  C.  D．7

答案　CD

解析　因为cos α＝－，

所以sin α＝±＝±，

所以tan α＝±.

当tan α＝时，tan＝＝；

当tan α＝－时，tan＝＝7.

3．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于(　　)

A.m  B.(1－m)  C.(m－1)  D.(m＋1)

答案　B

解析　∵28°＋32°＝60°，

∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝，

∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m)．

4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan

等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　tan＝tan＝＝.

5．若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于(　　)

A.  B．2  C．1＋  D．不确定

答案　B

解析　∵α＋β＝π，

∴tan(α＋β)＝＝－1，

∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，

∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2.

6．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________.

答案　－7　－45°

解析　＝＝－7.

因为tan(α－β)＝＝－1，

又0°<α<90°，90°<β<180°，

所以－180°<α－β<0°，所以α－β＝－45°.

7.＝________.

答案　－

解析　＝

＝＝tan(15°－45°)

＝tan(－30°)＝－.

8．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.

答案　

解析　tan＝tan

＝＝.

9．已知tan＝2，tan β＝.

(1)求tan α的值；

(2)求的值．

解　(1)∵tan＝2，

∴＝2，

∴＝2，解得tan α＝.

(2)原式＝

＝＝

＝tan(β－α)＝

＝＝.

10．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．

解　由tan B＋tan C＋tan Btan C＝得

tan(B＋C)＝

＝＝，

又0<B＋C<π，∴B＋C＝，①

又由tan A＋tan B＋1＝tan Atan B得

tan(A＋B)＝

＝＝－.

又0<A＋B<π，∴A＋B＝π，②

由①②及A＋B＋C＝π，解得B＝，C＝，A＝.

∴△ABC为等腰三角形．

11．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为C＝120°，所以A＋B＝60°，

所以tan(A＋B)＝＝，

因为tan A＋tan B＝，

所以tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，

解得tan A·tan B＝.

12．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为(　　)

A．16  B．8  C．4  D．2

答案　C

解析　由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，

利用两角和的正切公式及其变形可得

(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，

(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，

故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)

＝4.

13．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.

答案　

解析　由条件知＝＝3，

则tan α＝2，因为tan(α－β)＝2，

所以tan(β－α)＝－2.

故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]

＝＝＝.

14．已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝________.

答案　

解析　∵tan(α＋β)＝

＝＝，

tan(α＋β＋γ)＝＝＝1，

∵α，β，γ∈，

∴α＋β∈(0，π)，

又tan(α＋β)＝>0，

∴α＋β∈，

∴α＋β＋γ∈(0，π)，

∴α＋β＋γ＝.

15．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan2α＋tan2β的值为________．

答案　3

解析　因为tan(α＋β)＝4，所以＝4，

又tan α＋tan β＝2，所以tan αtan β＝，

所以tan2α＋tan2β＝(tan α＋tan β)2－2tan αtan β

＝22－2×＝3.

16．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．

解　假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，

(2)tan tan β＝2－同时成立．

由(1)得＋β＝，

所以tan＝＝.

又tan tan β＝2－，

所以tan ＋tan β＝3－，

因此tan ，tan β可以看成方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，设方程的两根为x1，x2，

解得x1＝1，x2＝2－.

若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，

所以tan ＝2－，tan β＝1，

所以α＝，β＝，

所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.