广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（基础题）3

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广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（基础题）3
一．充分条件与必要条件（共1小题）
（多选）1．（2023•梅州二模）下列说法正确的是（　　）
A．“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件
B．命题“∀x∈R+，”的否定是“∀x∈R+，”
C．若cos2α+sin2β＝1，则α＝β
D．的最大值为﹣2
二．函数的值域（共1小题）
（多选）2．（2023•广州二模）已知函数的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域为[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）可以是（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（﹣1，2）
三．三角函数的周期性（共1小题）
（多选）3．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝cos2x+|sinx|，则（　　）
A．f（x）是一个最小正周期为T＝2π的周期函数
B．f（x）是一个偶函数
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的最小值为0，最大值为
四．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
（多选）4．（2023•深圳二模）已知f（x）是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象的一部分（如图所示），则（　　）

A．f（x）的定义域为[﹣π，π]
B．当时，f（x）取得最大值
C．当x＜0时，f（x）的单调递增区间为[﹣，﹣]
D．当x＜0时，f（x）有且只有两个零点和
五．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
（多选）5．（2023•湛江二模）若5sin2α+5cos2α+1＝0，则tanα的值可能为（　　）
A．2 B．3 C． D．
六．两角和与差的三角函数（共1小题）
（多选）6．（2023•广州二模）下列等式能够成立的为（　　）
A．
B．sin75°cos15°+cos75°sin15°＝1
C．cos105°cos75°﹣sin105°cos15°＝﹣1
D．
七．分段函数的应用（共1小题）
（多选）7．（2023•韶关二模）已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，．设F（x）＝f（x）+f（x﹣1），则（　　）
A．函数y＝F（x）是奇函数也是周期函数
B．函数y＝F（x）的最大值为1
C．函数y＝F（x）在区间（2022，2023）上单调递减
D．函数y＝F（x）的图像有对称中心也有对称轴
八．数列递推式（共1小题）
（多选）8．（2023•汕头二模）已知数列为{an}为等差数列，a1＝1，，前n项和为Sn.数列{bn}满足，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}的通项公式为
B．数列{bn}是递减数列
C．数列{bn}是等差数列
D．数列{an}中任意三项不能构成等比数列
九．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）
（多选）9．（2023•梅州二模）已知向量，，，则下列命题正确的是（　　）
A．当且仅当tanθ＝时，∥
B．在上的投影向量为
C．存在θ，使得
D．存在θ，使得
一十．复数的运算（共1小题）
（多选）10．（2023•广州二模）设复数z1＝2﹣i，z2＝2i（i为虚数单位），则下列结论正确的为（　　）
A．z2是纯虚数
B．z1﹣z2对应的点位于第二象限
C．|z1+z2|＝3
D．
一十一．复数的模（共1小题）
（多选）11．（2023•佛山二模）设z，z1，z2为复数，且z1≠z2，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则
B．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1z2＝0
C．若zz1＝zz2，则z＝0
D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，则z在复平面对应的点在一条直线上
一十二．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）
（多选）12．（2023•韶关二模）如图所示，正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，E，F分别是棱AA'，CC'的中点，过直线EF的平面分别与棱BB'，DD'交于点M，N，以下四个命题中正确的是（　　）

A．四边形EMFN一定为矩形
B．平面EMFN⊥平面DBB'D'
C．四棱锥A﹣MENP体积为
D．四边形MENF的周长最小值为
（多选）13．（2023•深圳二模）如图，在矩形AEFC中，，EF＝4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P﹣ABC，则（　　）

A．三棱锥P﹣ABC的体积为
B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D．三棱锥P﹣ABC外接球的半径为
一十三．直线的斜率（共1小题）
（多选）14．（2023•广东二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（　　）
A．2 B． C． D．
一十四．直线与圆的位置关系（共1小题）
（多选）15．（2023•广州二模）已知圆M：x2+y2+6x+8y＝0，则（　　）
A．圆M关于直线x﹣y+1＝0对称
B．圆M被直线x﹣y+3＝0截得的弦长为
C．圆M关于直线x﹣y+1＝0对称的圆为x2+y2+10x+4y+4＝0
D．若点P（a，b）在圆M上，则的最小值为5
一十五．椭圆的性质（共1小题）
（多选）16．（2023•茂名二模）已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在C上，且，则下列说法正确的是（　　）
A．△PQF2周长的最小值为14
B．四边形PF1QF2可能是矩形
C．直线PB，QB的斜率之积为定值
D．△PQF2的面积最大值为
一十六．直线与抛物线的综合（共1小题）
（多选）17．（2023•佛山二模）如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则（　　）

A．|AB|＝5
B．四边形MNST的面积为100
C．
D．|CD|的取值范围为
一十七．双曲线的性质（共1小题）
（多选）18．（2023•汕头二模）已知曲线C：x2+y2cosα＝1，α∈[0，π]，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
一十八．曲线与方程（共1小题）
（多选）19．（2023•韶关二模）曲线C的方程为，则（　　）
A．当λ＞0时，曲线C是焦距为的双曲线
B．当λ＜﹣1时，曲线C是焦距为的双曲线
C．曲线C可能为圆
D．当﹣1＜λ＜0时，曲线C是焦距为的椭圆
一十九．互斥事件与对立事件（共1小题）
（多选）20．（2023•潮州二模）对于一个事件E，用n（E）表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，则（　　）
A．A与D不互斥 B．A与B互为对立
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
二十．全概率公式（共1小题）
（多选）21．（2023•广州二模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（　　）
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B．该零件是次品的概率为0.03
C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
二十一．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
（多选）22．（2023•韶关二模）下列命题中，正确的是（　　）
A．已知随机变量X服从二项分布，若E（3X+1）＝6，则n＝5
B．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＜4）＝0.7，则P（﹣2＜X＜1）＝0.1
C．已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝P（B），则P（A|B）＝P（A）
D．已知，，，则
二十二．统计图表获取信息（共1小题）
（多选）23．（2023•高州市二模）2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年～2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是（　　）

A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元
B．2017年的国内生产总值低于800000亿元
C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%
D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元
二十三．众数、中位数、平均数（共1小题）
（多选）24．（2023•广东二模）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（　　）
A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
二十四．极差、方差与标准差（共1小题）
（多选）25．（2023•潮州二模）根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬．现将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（　　）
A．平均数小于4
B．平均数小于4且极差小于或等于3
C．平均数小于4且标准差小于或等于4
D．众数等于5且极差小于或等于4
二十五．百分位数（共1小题）
（多选）26．（2023•茂名二模）小爱同学在一周内自测体温（单位：℃）依次为36.1，36.2，36.1，36.5，36.3，36.6，36.3，则该组数据的（　　）
A．平均数为36.3 B．方差为0.04
C．中位数为36.3 D．第80百分位数为36.55
二十六．线性回归方程（共1小题）
（多选）27．（2023•深圳二模）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
假设经验回归方程为，则（　　）
A．
B．当x＝8时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的40%分位数为0.8
D．去掉样本点（3，1）后，x与y的样本相关系数r不变

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参考答案与试题解析
一．充分条件与必要条件（共1小题）
（多选）1．（2023•梅州二模）下列说法正确的是（　　）
A．“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件
B．命题“∀x∈R+，”的否定是“∀x∈R+，”
C．若cos2α+sin2β＝1，则α＝β
D．的最大值为﹣2
【答案】AD
【解答】解：对于A，当a＞b时，取a＝﹣2，b＝﹣3，此时a2＜b2，所以a＞b推不出a2＞b2，
当a2＞b2时，取a＝﹣3，b＝2，此时a＜b，所以a2＞b2推不出a＞b，
所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故A正确；
对于B，命题“∀x∈R+，”是一个全称命题，其否定是“∃x∈R+，”，故B错误；
对于C，因为cos2α+sin2β＝1，所以sin2β＝1﹣cos2α＝sin2α，
所以|sinα|＝|sinβ|，当α＝0，β＝π时，|sinα|＝|sinβ|＝0，
所以由cos2α+sin2β＝1不能得到α＝β，故C错误；
对于D，令t＝﹣x2，则y＝log2t，
由0＜，得0，
因为函数y＝log2t在（0，]上单调递增，
所以函数y＝的最大值为＝＝﹣2，故D正确．
故选：AD．
二．函数的值域（共1小题）
（多选）2．（2023•广州二模）已知函数的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域为[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）可以是（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（﹣1，2）
【答案】ACD
【解答】解：x≠0时，设，g（x）在（0，2]上单调递减，在[﹣2，0）上单调递增，且，
∴f（x）在（0，2]上单调递减，0≤f（x）＜1；f（x）在[﹣2，0）上单调递增，0≤f（x）＜1，且f（0）＝1，
∴f（x）在[0，2]，[﹣2，0]，[﹣1，2]上的值域为[0，1]，a，b中至少一个取﹣2或2，
∴整数对（a，b）可以是（﹣2，0），（0，2），（﹣1，2）．
故选：ACD．
三．三角函数的周期性（共1小题）
（多选）3．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝cos2x+|sinx|，则（　　）
A．f（x）是一个最小正周期为T＝2π的周期函数
B．f（x）是一个偶函数
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的最小值为0，最大值为
【答案】BC
【解答】解：对于A选项，f（x+π）＝cos[2（x+π）]+|sin（x+π）|＝cos（2x+2π）+|﹣sinx|
＝cos2x+|sinx|＝f（x），
所以，函数f（x）为周期函数，且该函数的最小正周期不是2π，A错；
对于B选项，对任意的x∈R，f（﹣x）＝cos（﹣2x）+|sin（﹣x）|＝cos2x+|sinx|＝f（x），
所以，函数f（x）为偶函数，B对；
对于C选项，当时，，
，
令t＝sinx，则，因为函数在上单调递减，
函数t＝sinx在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数f（x）在区间上单调递增，C对；
对于D选项，，
因为0≤|sinx|≤1，令，
则二次函数g（u）在上单调递增，在上单调递减，所以，，
又因为g（0）＝1，g（1）＝0，所以，g（u）min＝0，
因此，f（x）的最小值为0，最大值为，D错．
故选：BC．
四．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
（多选）4．（2023•深圳二模）已知f（x）是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象的一部分（如图所示），则（　　）

A．f（x）的定义域为[﹣π，π]
B．当时，f（x）取得最大值
C．当x＜0时，f（x）的单调递增区间为[﹣，﹣]
D．当x＜0时，f（x）有且只有两个零点和
【答案】BCD
【解答】解：由图得f（0）＝sinφ＝，且位于增区间上，
所以φ＝2kπ+，k∈Z，又因为0＜φ＜π，所以k＝0，φ＝，
所以，即，所以ω＝2，
所以f（x）＝sin（2x+），由图可知，原点右侧的第二个零点为+＝+＝，
所以f（x）的定义域为[﹣，]，故A错误；
当x∈[0，]时，f（x）＝sin（2x+），
因为f（）＝sin＝1为最大值，则当x＝时，f（x）取得最大值，故B正确；
当x＞0时，令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，则+kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
又因为x∈[0，]，
所以当x＞0时，f（x）的减区间为[，]，
因为函数f（x）为偶函数，
所以当x＜0时，f（x）的单调递增区间为[﹣，﹣]，故C正确；
当x∈[0，]时，2x+∈[，2π]，
令f（x）＝sin（2x+）＝0，
得2x+＝π或2π，则x＝或，
因为函数f（x）为偶函数，
所以当x＜0时，f（x）有且只有两个零点和，故D正确．
故选：BCD．
五．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
（多选）5．（2023•湛江二模）若5sin2α+5cos2α+1＝0，则tanα的值可能为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】BD
【解答】解：∵5sin2α+5cos2α+1＝0，即＝﹣1，
即＝﹣1，即2tan2α﹣5tanα﹣3＝0，
∴tanα＝3或tanα＝﹣．
故选：BD．
六．两角和与差的三角函数（共1小题）
（多选）6．（2023•广州二模）下列等式能够成立的为（　　）
A．
B．sin75°cos15°+cos75°sin15°＝1
C．cos105°cos75°﹣sin105°cos15°＝﹣1
D．
【答案】BC
【解答】解：对于A：，A错误；
对于B：sin75°cos15°+cos75°sin15°＝sin（75°+15°）＝sin90°＝1，B正确；
对于C：cos105°cos75°﹣sin105°cos15°＝cos（105°+75°）＝cos180°＝﹣1，C正确；
对于D：，D错误．
故选：BC．
七．分段函数的应用（共1小题）
（多选）7．（2023•韶关二模）已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，．设F（x）＝f（x）+f（x﹣1），则（　　）
A．函数y＝F（x）是奇函数也是周期函数
B．函数y＝F（x）的最大值为1
C．函数y＝F（x）在区间（2022，2023）上单调递减
D．函数y＝F（x）的图像有对称中心也有对称轴
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，且当0≤x≤2时，，
当﹣2≤x≤0时，f（x）＝，
而F（x）＝f（x）+f（x﹣1），
当1≤x≤2时，有0≤x﹣1≤1，此时F（x）＝2﹣x+x﹣1＝1，
当0≤x≤1时，有﹣1≤x﹣1≤0，此时F（x）＝f（x）+f（x﹣1）＝2x﹣1，
当﹣1≤x≤0时，有﹣2≤x﹣1≤﹣1，此时F（x）＝x+[﹣2﹣（x﹣1）]＝﹣1，
当﹣2≤x≤﹣1时，有﹣3≤x﹣1≤﹣2，此时F（x）＝﹣2﹣x﹣1﹣x＝﹣2x﹣3，
则F（x）＝，
其函数图象在[﹣2，2]上的草图如图：

由此分析选项：
对于A，f（x）是周期为4的奇函数，则F（x+4）＝f（x+4）+f（x+3）＝f（x）+f（x﹣1）＝F（x），则F（x）是周期为4的周期函数，
当F（0）＝f（0）+f（﹣1）＝f（0）﹣f（1）＝﹣1≠0，F（x）不是奇函数，A错误；
对于B，结合F（x）的草图，F（x）在[﹣2，2]上的最大值为1，
f（x）为奇函数，且当0≤x≤2时，，
而F（x）是周期为4的周期函数，故F（x）的最大值为1，B正确；
对于C，F（x）是周期为4的周期函数，当x∈（2022，2023）时，x﹣2024∈（﹣2，﹣1），
则F（x）在（2022，2023）上的单调性与（﹣2，﹣1）上的单调性相同，则y＝F（x）在区间（2022，2023）上单调递减，C正确；
对于D，结合函数F（x）的草图，F（x）关于直线x＝﹣对称，关于点（，0）对称，D正确．
故选：BCD．
八．数列递推式（共1小题）
（多选）8．（2023•汕头二模）已知数列为{an}为等差数列，a1＝1，，前n项和为Sn.数列{bn}满足，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}的通项公式为
B．数列{bn}是递减数列
C．数列{bn}是等差数列
D．数列{an}中任意三项不能构成等比数列
【答案】ACD
【解答】解：在等差数列{an}中，a1＝1，，则其公差d＝，
则，故A正确；
则数列{an}前n项和，
则，
∴，
∴数列{bn}是等差数列且是递增数列，故B错误，C正确；
假设ar，as，at（r≠s，s≠t，r≠t）为等差数列{an}中三项，且ar，as，at构成等比数列，
则，即，
∴，则r＝t＝s，这与r≠t≠s矛盾．则不成立；
又由为整数，为无理数，
可得不成立．则假设不成立，即数列{an}中任意三项不能构成等比数列，故D正确．
故选：ACD．
九．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）
（多选）9．（2023•梅州二模）已知向量，，，则下列命题正确的是（　　）
A．当且仅当tanθ＝时，∥
B．在上的投影向量为
C．存在θ，使得
D．存在θ，使得
【答案】ABD
【解答】解：，
则2sinθ＝cosθ，解得tan，故A正确；
，
则，
在上的投影向量为＝，故B正确；
＝（2，0），，
若，
则2＝cosθ，即不存在θ，使得，故C错误；
若，
则，即2cosθ+sinθ＝0，解得tanθ＝﹣2，
故存在θ，使得，故D正确．
故选：ABD．
一十．复数的运算（共1小题）
（多选）10．（2023•广州二模）设复数z1＝2﹣i，z2＝2i（i为虚数单位），则下列结论正确的为（　　）
A．z2是纯虚数
B．z1﹣z2对应的点位于第二象限
C．|z1+z2|＝3
D．
【答案】AD
【解答】解：对于A，z2＝2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；
对于B，z1﹣z2＝2﹣3i，其在复平面上对应的点为（2，﹣3），在第四象限，B错误；
对于C，z1+z2＝2+i，则，C错误；
对于D，z1＝2﹣i，则，D正确．
故选：AD．
一十一．复数的模（共1小题）
（多选）11．（2023•佛山二模）设z，z1，z2为复数，且z1≠z2，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则
B．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1z2＝0
C．若zz1＝zz2，则z＝0
D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，则z在复平面对应的点在一条直线上
【答案】ACD
【解答】解：由共轭复数的性质知，
若，则正确，
故选项A符合题意；
若z1＝1+2i，z1＝2﹣i，则满足|z1﹣z2|＝|z1+z2|，
但z1•z2＝（1+2i）•（2﹣i）＝4+3i，
故选项B不符合题意；
若zz1＝zz2，
则z（z1﹣z2）＝0，
∵z1≠z2，∴z1﹣z2≠0，
∴z＝＝0，
故选项C符合题意；
根据复数的几何意义知，
若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，
记z1、z2在复平面对应的点为A、B，
则z在复平面对应的点在线段AB的垂直平分线上，
故选项D符合题意．
故选：ACD．
一十二．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）
（多选）12．（2023•韶关二模）如图所示，正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，E，F分别是棱AA'，CC'的中点，过直线EF的平面分别与棱BB'，DD'交于点M，N，以下四个命题中正确的是（　　）

A．四边形EMFN一定为矩形
B．平面EMFN⊥平面DBB'D'
C．四棱锥A﹣MENP体积为
D．四边形MENF的周长最小值为
【答案】BC
【解答】解：对于A，由正方体的性质得平面BCC′B′∥平面ADD′A′，
平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN，故MF∥EN，
同理得ME∥NF，又EF⊥MN，∴四边形MENF为菱形，故A错误；
对于B，连接BD，B′D′，MN，由题意得EF⊥BD，EF⊥BB′，
∵BD∩BB′＝B，∴EF⊥平面BDD′B′，平面EMFN⊥平面DBB′D′，故B正确；
对于C，四棱锥A﹣MENF的体积为：
V1＝VM﹣AEF+VN﹣AEF＝＝＝，故C正确；
对于D，∵四边形MENF是菱形，
∴四边形MENF的周长l＝4＝4•＝2，
∴当点M，N分别为BB′，DD′的中点时，四边形MENF的周长最小，
此时MN＝EF＝，即周长的最小值为4，故D错误．
故选：BC．

（多选）13．（2023•深圳二模）如图，在矩形AEFC中，，EF＝4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P﹣ABC，则（　　）

A．三棱锥P﹣ABC的体积为
B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D．三棱锥P﹣ABC外接球的半径为
【答案】BD
【解答】解：由题意可得BP⊥AP，BP⊥CP，
又AP∩CP＝P，AP，CP⊂平面PAC，
所以BP⊥平面PAC，
在△PAC中，边上的高为，
所以，故A错误；
对于B，在△PAC中，，
，
＝
＝，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，，
设点A到平面PBC的距离为d，
由VB﹣PAC＝VA﹣PBC，得，解得，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；
由B选项知，，则，
所以△PAC的外接圆的半径，
设三棱锥P﹣ABC外接球的半径为R，
又因为BP⊥平面PAC，
则，所以，
即三棱锥P﹣ABC外接球的半径为，故D正确．
故选：BD．
一十三．直线的斜率（共1小题）
（多选）14．（2023•广东二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】ABD
【解答】解：因为选项斜率均为正值，不妨假设AB所在的直线过点（0，0），
设直线AB的倾斜角为，斜率为k，
①若CD所在的直线过点（1，0），如图，可得BC＝sinα，CD＝2cosα，
因为BC＝CD，即sinα＝2cosα，则k＝tanα＝2；

②若CD所在的直线过点（2，0），如图，可得BC＝2sinα，CD＝3cosα，
因为BC＝CD，即2sinα＝3cosα，则；

③若CD所在的直线过点（4，0），如图，可得BC＝4sinα，CD＝cosα，
因为BC＝CD，即4sinα＝cosα，则；

综上所述：k的可能值为．
故选：ABD．
一十四．直线与圆的位置关系（共1小题）
（多选）15．（2023•广州二模）已知圆M：x2+y2+6x+8y＝0，则（　　）
A．圆M关于直线x﹣y+1＝0对称
B．圆M被直线x﹣y+3＝0截得的弦长为
C．圆M关于直线x﹣y+1＝0对称的圆为x2+y2+10x+4y+4＝0
D．若点P（a，b）在圆M上，则的最小值为5
【答案】BCD
【解答】解：∵圆M的一般方程为x2+y2+6x+8y＝0，
∴（x+3）2+（y+4）2＝52，
故圆心M（﹣3，﹣4），半径为r＝5，
故﹣3﹣（﹣4）+1≠0，则直线x﹣y+1＝0不过圆心M，故A错误；
点M到直线x﹣y+3＝0的距离，
则圆M被直线x﹣y+3＝0截得的弦长为，故B正确；
设圆M关于直线x﹣y+1＝0对称的圆的圆心为N（x，y），
则，解得，即N（﹣5，﹣2），
故圆M关于直线x﹣y+1＝0对称的圆的方程为（x+5）2+（y+2）2＝25，即x2+y2+10x+4y+4＝0，故C正确；
表示P（a，b）与点A（3，4）的距离，
又∵，
∴的最小值是10﹣r＝5，故D正确．
故选：BCD．
一十五．椭圆的性质（共1小题）
（多选）16．（2023•茂名二模）已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在C上，且，则下列说法正确的是（　　）
A．△PQF2周长的最小值为14
B．四边形PF1QF2可能是矩形
C．直线PB，QB的斜率之积为定值
D．△PQF2的面积最大值为
【答案】ACD
【解答】解：由，可知P，Q关于原点对称，
对于A，根据椭圆的对称性，|PQ|+|PF2|+|QF2|＝|PQ|+|PF2|+|PF1|＝|PQ|+8，
当PQ为椭圆的短轴时，|PQ|有最小值6，所以△PQF2周长的最小值为14，故A正确；
对于B，因为，所以，
则，故椭圆上不存在点P，使得，
又四边形PF1QF2是平行四边形，所以四边形PF1QF2不可能是矩形，故B不正确；
对于C，由题意得B（4，0），设P（x，y），则Q（﹣x，﹣y），
所以，故C正确；
对于D，设△PF2Q的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，|yP﹣yQ|＝6最大，
所以，故D正确．
故选：ACD．
一十六．直线与抛物线的综合（共1小题）
（多选）17．（2023•佛山二模）如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则（　　）

A．|AB|＝5
B．四边形MNST的面积为100
C．
D．|CD|的取值范围为
【答案】ACD
【解答】解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；可得|AF|＝2，抛物线的标准方程为：y2＝8x．
抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．可得|BF|＝3，所以|AB|＝2+3＝5，所以A正确；
抛物线Γ2的方程为：y2＝﹣12（x﹣5）．
Γ1和Γ2交于P、Q两点，，可得P、Q两点的横坐标为：3，两点的纵坐标：±2，
分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，
可得M（﹣2，2），N（8，2），S（8，﹣2），T（﹣2，﹣2），
四边形MNST的面积为：10×4＝40．所以B不正确；
＝（﹣4，﹣2），＝（6，﹣2），可得，所以C正确；
过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，当D与P重合时，CD的距离取得最大值，此时|CD|＝|PN|+|CH|，
|CD|的P（3，2），直线PF的方程为：y＝（x﹣2）＝2（x﹣2），代入y2＝8x，可得3x2﹣13x+12＝0，
解得，xP＝3，所以|CD|的最大值为：5+2+＝，所以|CD|取值范围：[5，]．所以D正确．
故选：ACD．

一十七．双曲线的性质（共1小题）
（多选）18．（2023•汕头二模）已知曲线C：x2+y2cosα＝1，α∈[0，π]，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
【答案】ABD
【解答】解：设m＝cosa∈[﹣1，1]，故曲线C的方程可表示为x2+my2＝1（﹣1≤m≤1），
对A，当m＝0时，曲线C的方程为x2＝1，可得x＝±1，此时曲线C为两条直线；
当m＝1时，曲线C的方程为x2+y2＝1，此时曲线C是一个圆；故A正确；
对B，当0＜m＜1时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；
对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则α越大，椭圆越扁，故C错误；
对D，当﹣1≤m＜0时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，
此时离心率为，由﹣1≤m＜0，可得，
即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确．
故选：ABD．
一十八．曲线与方程（共1小题）
（多选）19．（2023•韶关二模）曲线C的方程为，则（　　）
A．当λ＞0时，曲线C是焦距为的双曲线
B．当λ＜﹣1时，曲线C是焦距为的双曲线
C．曲线C可能为圆
D．当﹣1＜λ＜0时，曲线C是焦距为的椭圆
【答案】BC
【解答】解：由，得．
当0＜λ＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当λ＝1时，曲线C是圆，当λ＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
故A错误，C正确；
当λ＜0时，化为，曲线C是焦距为的双曲线，故B正确，D错误．
故选：BC．
一十九．互斥事件与对立事件（共1小题）
（多选）20．（2023•潮州二模）对于一个事件E，用n（E）表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，则（　　）
A．A与D不互斥 B．A与B互为对立
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
【答案】BCD
【解答】解：因为n（A）+n（D）＝n（A∪D），所以A与D互斥，即选项A错误；
因为n（A）+n（B）＝n（A∪B）＝n（Ω），所以A与B互斥且对立，即选项B正确；
由题意知，P（A）＝＝＝，P（B）＝＝＝，P（C）＝＝＝，P（A∩C）＝＝＝，
所以P（A∩C）＝P（A）•P（C），即A与C相互独立，所以选项C正确；
因为n（A∩C）＝12，n（C）＝20，且A与B互为对立，
所以 n（B∩C）＝20﹣12＝8，
所以P（B∩C）＝＝＝＝P（B）•P（C），
所以B与C相互独立，即选项D正确．
故选：BCD．
二十．全概率公式（共1小题）
（多选）21．（2023•广州二模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（　　）
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B．该零件是次品的概率为0.03
C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
【答案】BC
【解答】解：根据题意，设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i个车床加工”，（i＝1、2、3），
依次分析选项：
对于A，该零件是第1台车床加工出来的次品的概率P1＝P（A1）P（B|A1）＝10%×8%＝0.008，A错误；
对于B，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝10%×8%+40%×3%+50%×2%＝0.008+0.012+0.01＝0.03，B正确；
对于C，第3台加工的次品率为2%，则如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率P＝1﹣2%＝0.98，C正确；
对于D，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率P（A3|B）＝＝＝，则它不是第3台车床加工出来的概率为1﹣P（A3|B）＝，D错误．
故选：BC．
二十一．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
（多选）22．（2023•韶关二模）下列命题中，正确的是（　　）
A．已知随机变量X服从二项分布，若E（3X+1）＝6，则n＝5
B．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＜4）＝0.7，则P（﹣2＜X＜1）＝0.1
C．已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝P（B），则P（A|B）＝P（A）
D．已知，，，则
【答案】ACD
【解答】解：随机变量X服从二项分布，
则E（X）＝，
故E（3X+1）＝3E（X）+1＝n+1＝6，解得n＝5，故A正确；
由正态分分布曲线的性质可知，P（X≥4）＝1﹣0.7＝0.3，
P（X≤﹣2）＝0.3，
故P（﹣2＜X＜1）＝0.5﹣0.3＝0.2，故B错误；
P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝，
则P（AB）＝P（A）P（B），
P（A|B）＝，故C正确；
知，，
则P（A）＝，，
，
则＝，故D正确．
故选：ACD．
二十二．统计图表获取信息（共1小题）
（多选）23．（2023•高州市二模）2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年～2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是（　　）

A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元
B．2017年的国内生产总值低于800000亿元
C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%
D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元
【答案】ACD
【解答】解：由统计图可得2018年～2022年国内生产总值分别为919281，986515，1013567，1149237，1210207，增长速度为6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%，
对于选项A，通过数据可得近五年的国内生产总值逐年递增，且近三年均已超过1000000亿元，故A正确；
对于选项B，2017年的国内生产总值为919281÷（1+6.7%）≈861557亿元，故B不正确；
对于选项C，近五年的国内生产总值增长速度的平均数为，故C正确；
对于选项D，近五年的国内生产总值的极差为1210207﹣919281＝290926亿元，故D正确；
故选：ACD．
二十三．众数、中位数、平均数（共1小题）
（多选）24．（2023•广东二模）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（　　）
A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
【答案】AD
【解答】解：对于A，设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为x1，x2，x3，x4，x5，
则x1≤x2≤x3≤x4≤x5，x3＝26，且24至少出现2次，
故x1＝x2＝24，故A正确；
对于B，设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为y1，y2，y3，y4，y5，
则y1≤y2≤y3≤y4≤y5，y3＝29，
取y1＝20，y2＝23，y4＝29，y5＝29，可得其满足条件，但有2场得分低于24，故B错误；
对于C，设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为z1，z2，z3，z4，z5，
由已知，
所以，
若z4≥32，则z5≥32，
所以，矛盾，
所以z5＝32，，
因为z1，z2，z3，z4，z5的平均数为26，所以z1+z2+z3+z4＝98，
取z1＝23，z2＝25，z3＝25，z4＝25，满足要求，但有一场得分低于2（4分），故C错误；
对于D，因为5×60%＝3，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为，
若，则，故z1+z2+z3+z4＜98，矛盾，
所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，故D正确．
故选：AD．
二十四．极差、方差与标准差（共1小题）
（多选）25．（2023•潮州二模）根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬．现将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（　　）
A．平均数小于4
B．平均数小于4且极差小于或等于3
C．平均数小于4且标准差小于或等于4
D．众数等于5且极差小于或等于4
【答案】BD
【解答】解：对于A，举反例：0，0，0，0，15平均数为3小于4，但不符合入冬标准，A错误；
对于B，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3知，此组数据最小值为大于或等于7，与平均值小于4矛盾，故假设不成立，B项正确；
对于C，举反例：1，1，1，1，11平均数为3，且标准差为4，但不符合入冬标准，C错误；
对于D，众数等于5且极差小于或等于4时，最大数不超过9，D项正确．
故选：BD．
二十五．百分位数（共1小题）
（多选）26．（2023•茂名二模）小爱同学在一周内自测体温（单位：℃）依次为36.1，36.2，36.1，36.5，36.3，36.6，36.3，则该组数据的（　　）
A．平均数为36.3 B．方差为0.04
C．中位数为36.3 D．第80百分位数为36.55
【答案】AC
【解答】解：根据题意，将7个数据从小到大排列：36.1，36.1，36.2，36.3，36.3，36.5，36.6，
由此分析选项：
对于A，其平均数＝（36.1+36.1+36.2+36.3+36.3+36.5+36.6）＝36.3，A正确；
对于B，其方差S2＝（0.04+0.04+0.01+0+0+0.04+0.09）＝，B错误；
对于C，其中位数为第4个数据，即36.3，C正确；
对于D，7×80%＝5.6，则该组数据的第80百分位数为36.5，D错误．
故选：AC．
二十六．线性回归方程（共1小题）
（多选）27．（2023•深圳二模）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
假设经验回归方程为，则（　　）
A．
B．当x＝8时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的40%分位数为0.8
D．去掉样本点（3，1）后，x与y的样本相关系数r不变
【答案】ABD
【解答】解：，，
∴样本点的中心坐标为（3，1），代入，得，故A正确；
经验回归方程为，取x＝8，得＝2.2，故B正确；
样本数据y的40%分位数为，故C错误；
由相关系数公式可知，去掉样本点（3，1）后，x与y的样本相关系数r不变，故D正确．
故选：ABD．