广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题）

这是一份广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题），共24页。试卷主要包含了＝　 　等内容，欢迎下载使用。

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题）
一．抽象函数及其应用（共1小题）
1．（2023•深圳二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）﹣2为奇函数，且f（1﹣x）＝f（3+x），则f（2023）＝　 　．
二．正弦函数的单调性（共1小题）
2．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递 　 　（填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 　 　．
三．函数的零点与方程根的关系（共1小题）
3．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是 　 　；的值为 　 　．
四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）
4．（2023•茂名二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面．坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 　 　百米．

五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）
5．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a＝　 　．
6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x3﹣x，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，且这两条切线关于直线x＝m对称，则m的一个可能值为 　 　．
六．平面向量的基本定理（共1小题）
7．（2023•广州二模）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝　 　时，则有最小值为 　 　．
七．解三角形（共1小题）
8．（2023•深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽AB＝72码，球门宽EF＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA＝AB，OA⊥AB）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球 　 　码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 　 　码时，到达最佳射门位置．

八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
9．（2023•广东二模）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 　 　．
九．球的体积和表面积（共1小题）
10．（2023•韶关二模）将一个圆心角为、面积为2π的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 　 　．
一十．点、线、面间的距离计算（共1小题）
11．（2023•高州市二模）已知球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，且与平面α相切，若AB＝1，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为 　 　．
一十一．轨迹方程（共1小题）
12．（2023•广州二模）在平面直角坐标系xOy中，定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A（x1，y1），B（x2，y2）两点之间的“折线距离”．已知点Q（1，0），动点P满足d（Q，P）＝，点M是曲线y＝上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 　 　，d（P，M）的最小值为 　 　．
一十二．椭圆的性质（共3小题）
13．（2023•梅州二模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 　 　．

14．（2023•汕头二模）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则＝　 　．
15．（2023•佛山二模）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则sin∠F1PF2的最大值为 　 　．
一十三．抛物线的性质（共1小题）
16．（2023•韶关二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为﹣1的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 　 　；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则实数a的取值范围为 　 　．
一十四．古典概型及其概率计算公式（共1小题）
17．（2023•佛山二模）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 　 　，从第n个盒子中取到白球的概率是 　 　．
一十五．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
18．（2023•汕头二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验 　 　次．（结果保留四位有效数字）（0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983）．
一十六．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）
19．（2023•佛山二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N（800，σ2），且P（X＜801）＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X＜801的瓷砖片数，则E（Y）＝　 　．
一十七．归纳推理（共1小题）
20．（2023•广州二模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C1，C2，C3，C4，则＝　 　．


广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题）
参考答案与试题解析
一．抽象函数及其应用（共1小题）
1．（2023•深圳二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）﹣2为奇函数，且f（1﹣x）＝f（3+x），则f（2023）＝　2　．
【答案】2．
【解答】解：由于f（x+1）﹣2为奇函数，
则f（x+1）﹣2＝﹣[f（﹣x+1）﹣2]，即f（x+1）+f（1﹣x）＝4，
所以函数f（x）关于点（1，2）对称，则f（1）＝2，
又f（1﹣x）＝f（3+x），
则f（x+1）+f（x+3）＝4，
则f（x）+f（x+2）＝4，则f（x+2）+f（x+4）＝4，
所以f（x）＝f（x+4），则函数f（x）的周期为4，
所以f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝f（1）＝2．
故答案为：2．
二．正弦函数的单调性（共1小题）
2．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递 　增　（填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 　9个　．
【答案】增；9个．
【解答】解：∵函数在上具有单调性，
∴﹣（﹣）≤T，即≤，∴0＜ω≤，又∵f（）＝sin（ω+）＝0，∴ω+＝kπ（k∈Z），
即ω＝﹣，k∈Z，只有k＝1时，ω＝3符合要求，此时f（x）＝sin（3x+），
当x∈时，3x+∈（﹣，），∴f（x）在上单调递增，
作出函数y＝f（x）与y＝lgx的图象，由图可知，这两个函数的图象共有9个交点，
∴函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为9个．

故答案为：增；9个．
三．函数的零点与方程根的关系（共1小题）
3．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是 　（2，+∞）　；的值为 　2　．
【答案】（2，+∞）；2．
【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，，
当且仅当即x＝﹣1时取等号，
且根据对勾函数可得f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，
当x∈（0，e﹣a]时，lnx∈（﹣∞，﹣a]，|lnx|＝﹣lnx∈[a，+∞），
则|lnx|﹣a＝﹣lnx﹣a∈[0，+∞），
所以f（x）＝﹣lnx﹣a∈[0，+∞）；
当x∈（e﹣a，1]时，lnx∈（﹣a，0]，|lnx|＝﹣lnx∈[0，a），
则|lnx|﹣a＝﹣lnx﹣a∈[﹣a，0），
所以f（x）＝lnx+a∈（0，a]；
当x∈（1，ea]时，lnx∈（0，a]，|lnx|＝lnx∈（0，a]，
则|lnx|﹣a＝lnx﹣a∈（﹣a，0]，
所以f（x）＝a﹣lnx∈[0，a）；
当x∈（ea，+∞）时，lnx∈（a，+∞），|lnx|＝lnx∈（a，+∞），
则|lnx|﹣a＝lnx﹣a∈（0，+∞），
所以f（x）＝lnx﹣a∈（0，+∞），
所以f（x）的大致图象如图所示，

当a＞2时，存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根，
故a的取值范围是（2，+∞），
由题意得x1，x2是方程的两个根，即方程x2+kx+1＝0的两个根，
所以x1x2＝1，
x1x2＝1，﹣lnx3﹣a＝lnx6﹣a＝k，
所以lnx3+lnx6＝ln（x3x6）＝0，解得x3x6＝1，
lnx4+a＝a﹣lnx5＝k，lnx4+lnx5＝ln（x4x5）＝0，解得x4x5＝1
所以，
故答案为：（2，+∞）；2．
四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）
4．（2023•茂名二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面．坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 　+5　百米．

【答案】+5．
【解答】解：连接CD，CE，由半圆半径为1得：CD＝CE＝1，

由对称性，设∠CBE＝∠CBD＝θ，又CD⊥BD，CE⊥BE，所以BE＝BD＝＝，BC＝＝，
易知∠MCE＝∠NCD＝θ，所以，的长为θ，
又AC＝3，故AB＝AC﹣BC＝3﹣∈（0，2），故sinθ∈（，1），
令sinθ0＝，且θ0∈（0，），则f（θ）＝5﹣++2θ，θ∈（θ0，），
所以f′（θ）＝，
θ
（θ0，）

（，）
f′（θ）
﹣
0
+
f（θ）
单调递减
极小值
单调递增
所以栈道总长度最小值f（θ）min＝f（）＝+5．
故答案为：+5．
五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）
5．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a＝　﹣3　．
【答案】﹣3．
【解答】解：由f（x）＝x2+alnx，得f′（x）＝2x+，
则f′（1）＝2+a，又f（1）＝1，
∴函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线方程为y﹣1＝（2+a）（x﹣1），
取x＝0，可得y＝﹣2﹣a+1＝﹣a﹣1＝2，可得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x3﹣x，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，且这两条切线关于直线x＝m对称，则m的一个可能值为 　（或或或）　．
【答案】（或或或）．
【解答】解：设切点坐标为（t，t3﹣t），因为f（x）＝x3﹣x，则f'（x）＝3x2﹣1，切线斜率为f'（t）＝3t2﹣1，
所以，曲线y＝f（x）在x＝t处的切线方程为y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），
将点P的坐标代入切线方程可得2t3﹣3mt2+m+n＝0，
设过点P且与曲线y＝f（x）相切的切线的切点的横坐标分别为x1、x2，且x1≠x2，
因为这两条切线关于直线x＝m对称，则，
所以，
易知x1、x2关于t的方程2t3﹣3mt2+m+n＝0的两个根，设该方程的第三个根为x3，
则2t3﹣3mt2+m+n＝2（t﹣x1）（t﹣x2）（t﹣x3），
则，
所以，
因为过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，
则关于t的方程2t3﹣3mt2+m+n＝0只有两个不等的实根，不妨设x3＝x1，
则，
若x1＝0，则，可得，解得；
若2x2+x1＝0，则x1＝﹣2x2，所以，，可得，x1＝m，
所以，解得．
综上所述，或．
故答案为：（或或或）．
六．平面向量的基本定理（共1小题）
7．（2023•广州二模）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝　　时，则有最小值为 　　．
【答案】；．
【解答】解：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，
则，
又，
则＝＝＝（1﹣），
，
则＝+4λ+4（）＝，
又＝，
当且仅当，即时取等号，
即当λ＝时，则有最小值为，
故答案为：；．

七．解三角形（共1小题）
8．（2023•深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽AB＝72码，球门宽EF＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA＝AB，OA⊥AB）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球 　72﹣16　码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 　72﹣16　码时，到达最佳射门位置．

【答案】72﹣16；72﹣16．
【解答】解：若选择线路，设AP＝t，其中0＜t≤72，AE＝32，AF＝32+8＝40，
则tan∠APE＝＝，tan∠APF＝＝，
所以，tan∠EPF＝tan（∠APF﹣∠APE）
＝＝＝＝≤＝，
当且仅当t＝时，即当t＝16时，等号成立，此时OP＝OA﹣AP＝72﹣16，
所以，若选择线路，则甲带球72﹣16码时，APO到达最佳射门位置；
若选择线路，以线段EF的中点N为坐标原点，
、的方向分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则B（﹣36，0）、O（36，72）、F（﹣4，0）、E（4，0），kOB＝＝1，
直线OB的方程为y＝x+36，设点P（x，x+36），其中﹣36＜x≤36，
tan∠AFP＝kPF＝，tan∠AEP＝kPE＝，
所以，tan∠EPF＝tan（∠AEP﹣∠AFP）＝
＝＝＝，
令m＝x+36∈（0，72]，则x＝m﹣36，
所以x+36+＝m+＝2m+﹣72≥2﹣72＝32﹣72，
当且仅当2m＝时，即当m＝8，即当x＝8﹣36时，等号成立，
所以，tan∠EPF＝≤＝，
当且仅当x＝8﹣36时，等号成立，
此时，|OP|＝|36﹣（8﹣36）|＝72﹣16，
所以，若选择线路，则甲带球72﹣16码时，到达最佳射门位置，
故答案为：72﹣16；72﹣16．
八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
9．（2023•广东二模）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 　　．
【答案】．
【解答】解：连接AC，BD，由题意可得，
分别过E，F，G，H作底面ABCD的垂线，垂足分别为E1，F1，G1，H1，
可得E1，F1，G1，H1分别为AB，BC，CD，AD的中点，
连接E1F1，F1G1，G1H1，H1E1，
可得，
由题意可得：EFGH﹣E1F1G1H1为四棱柱，
则，
四棱锥的高为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高的一半，即为1，
所以四棱锥的体积．
故答案为：．

九．球的体积和表面积（共1小题）
10．（2023•韶关二模）将一个圆心角为、面积为2π的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 　π　．
【答案】π．
【解答】解：设圆锥底面半径为R，母线长为L，则，
解得R＝，L＝，易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，

其中，，且点M为BC边上的中 点，设内切圆的圆心为O，由于，
故S△ABC＝××＝，
设内切圆半径为r，则：S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB•r×2+BC•r，
解得：，其表面积：．
故答案为：π．
一十．点、线、面间的距离计算（共1小题）
11．（2023•高州市二模）已知球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，且与平面α相切，若AB＝1，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为 　　．
【答案】．
【解答】解：将正四面体A﹣BCD补形成正方体，
因为球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，所以球O即为正方体的内切球，
易知，球心O为正方体体对角线的中点，

记正四面体A﹣BCD表面上的点到球心O的距离为d，球的半径为r，
则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值即为d+r的最大值，
设正方体棱长为a，则a2+a2＝1，解得，所以，
易知，，
所以正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为．
故答案为：．
一十一．轨迹方程（共1小题）
12．（2023•广州二模）在平面直角坐标系xOy中，定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A（x1，y1），B（x2，y2）两点之间的“折线距离”．已知点Q（1，0），动点P满足d（Q，P）＝，点M是曲线y＝上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 　　，d（P，M）的最小值为 　（﹣1）　．
【答案】；（﹣1）．
【解答】解：设P（x，y），d（Q，P）＝|x﹣1|+|y|＝，
当x≥1，y≥0时，则x﹣1+y＝，即x+y﹣＝0，
当x≥1，y＜0时，则x﹣1﹣y＝，即x﹣y﹣＝0，
当x＜1，y＜0时，则1﹣x﹣y＝，即x+y﹣＝0，
当x＜1，y≥0时，则1﹣x+y＝，即x﹣y﹣＝0，
故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形ABCD的面积：

则S＝×××4＝，
如下图，设P（x0，y0），M（x1，y1），又求d（P，M）的最小值，
显然x1＞x0，y1＞y0，

d（P，M）＝|x1﹣x0|+|y1﹣y0|＝x1﹣x0+y1﹣y0＝x1+y1﹣（x0+y0），
求d（P，M）的最小值，即x1+y1的最小值，x0+y0的最大值，
又（x0+y0）＝，下面求x1+y1的最小值，
令y＝x1+y1＝x1+，y'＝1﹣＝0，即x1＝，
令y'＞0，解得：x1＞，令y'＜0，解得：x1＜，
所以y在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以x1＝时，y有最小值，且ymin＝，
所以d（P，M）min＝﹣＝（﹣1）．
故答案为：；（﹣1）．
一十二．椭圆的性质（共3小题）
13．（2023•梅州二模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 　　．

【答案】．
【解答】解：设圆柱的底面半径为r，
因为一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，
则2b＝2r，，即，
因此该椭圆的离心率为．
故答案为：．
14．（2023•汕头二模）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则＝　4　．
【答案】4．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），
由中点坐标公式可得、、，
∵O为△ABC的重心，
∴，，，
∴x1y3﹣x3y1＝x3y2﹣x2y3＝x2y1﹣x1y2，
由题意可知，过A，B，C切线分别为，，，
∴，，，
∴，
同理，即O也是△DEF的重心，
又∵，，，
∴，，，
∴，
同理可得kOE＝kOB，kOF＝kOA，
∴D，O，C、E，O，B、F，O，A共线，
综上，C，B，A分别是EF，DF，DE的中点，则．
故答案为：4．

15．（2023•佛山二模）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则sin∠F1PF2的最大值为 　　．
【答案】．
【解答】解：由椭圆的方程可知右顶点为M（2，0），
左右焦点F1、F2的坐标为（﹣1，0），（1，0），
设P（2，t）为过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，（不妨设t＞0），
tan∠F1PF2＝tan（∠F1PM﹣∠F2PM）＝
＝＝＝≤＝，
当且仅当t＝，即t＝时取等号，
∵0≤∠F1PF2＜，∴0≤∠F1PF2≤，
∴sin∠F1PF2的最大值为．
故答案为：．
一十三．抛物线的性质（共1小题）
16．（2023•韶关二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为﹣1的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 　（x﹣3）2+（y+2）2＝16　；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则实数a的取值范围为 　[，9]　．
【答案】（x﹣3）²+（y+2）²＝16，[，9]．
【解答】解：过抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0）且斜率为﹣1的直线l为y＝﹣x+1，
由消去x，得x2﹣6x+1＝0，所以AB的中点为D（3，﹣2），
|AB|＝x1+x2+p，所以以线段AB为直径的圆D的半径r＝4，方程为（x﹣3）²+（y+2）²＝16，
对圆D内任意一点M，必可作相互垂直的两直线相交，故存在圆D上两点P，Q，使∠PMQ＝90°；
对圆D外任意一点M，P，Q是圆D上两点．
当MP，MQ与圆D相切时，∠PMQ最大，此时DPMQ为柜形，
T：（x﹣a）2+y2＝1上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，
等价于以D为因心以为半径的圆与圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）在公共点，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为[，9]．
故答案为：（x﹣3）²+（y+2）²＝16，[，9]．
一十四．古典概型及其概率计算公式（共1小题）
17．（2023•佛山二模）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 　　，从第n个盒子中取到白球的概率是 　　．
【答案】；．
【解答】解：记事件Ai表示从第i（i＝1，2，•••，n）个盒子里取出白球，
则P（A1）＝，P（）＝，
P（A2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）＝＝，
P（A3）＝P（A2）P（A3|A2）+P（）P（A3|）＝＝，
P（A4）＝P（A3）P（A4|A3）+P（）P（A4|）＝，
进而得P（An）＝，P（An）﹣＝[P（An﹣1）﹣]，
又P（A1）﹣＝，P（A2）﹣＝，P（A2）﹣＝[P（A1）﹣]，
∴{P（An）﹣}是首项为，公比为的等比数列，
∴P（An）﹣＝＝，
∴P（An）＝．
故答案为：；．
一十五．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
18．（2023•汕头二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验 　0.4262　次．（结果保留四位有效数字）（0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983）．
【答案】0.4262．
【解答】解：设每个人需要的化验次数为X，
若混合血样呈阴性，则X＝；若混合血样呈阳性，则X＝；
因此，X的分布列为P（X＝）＝0.955，P（X＝）＝1﹣0.955，
所以E（X）＝≈0.4262，
说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次．
故答案为：0.4262．
一十六．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）
19．（2023•佛山二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N（800，σ2），且P（X＜801）＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X＜801的瓷砖片数，则E（Y）＝　1　．
【答案】1．
【解答】解：由题意，X～N（800，σ2），所以正态曲线关于直线X＝800对称，
所以P（X＜800）＝0.5，因为P（X＜801）＝P（X＜800）+P（800≤X＜801）＝0.6，
所以P（800≤X＜801）＝0.6﹣0.5＝0.1，
由题意，Y～B（10，0.1），所以E（Y）＝10×0.1＝1．
故答案为：1．
一十七．归纳推理（共1小题）
20．（2023•广州二模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C1，C2，C3，C4，则＝　　．

【答案】．
【解答】解：观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列{∁n}，
从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，
因此数列{∁n}是首项C1＝3，公比为的等比数列，
所以，，
所以．
故答案为：．