广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-02填空题

这是一份广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-02填空题，共30页。试卷主要包含了＝　 　，除以17的余数是 　 　，＝　 　等内容，欢迎下载使用。

广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-02填空题
一．函数的最值及其几何意义（共2小题）
1．（2023•江门一模）已知f（x）＝|lnx|，x1，x2是方程f（x）＝a（a∈R）的两根，且x1＜x2，则的最大值是 　 　．
2．（2023•梅州一模）函数f（x）＝的最小值为 　 　．
二．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）
3．（2023•佛山一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3﹣3x+1，则f（3）＝　 　．
三．奇偶性与单调性的综合（共1小题）
4．（2023•广东一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，2]上单调递减，f（x+2）为偶函数，若f（x）＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝　 　．
四．函数的值（共1小题）
5．（2023•湛江一模）已知函数f（x）＝2x+1，记f（2）（x）＝f（f（x））＝2（2x+1）+1＝4x+3为函数f（x）的2次迭代函数，f（3）（x）＝f（f（f（x）））＝4（2x+1）+3＝8x+7为函数f（x）的3次迭代函数，…，依次类推，f（n）（x）＝为函数f（x）的n次迭代函数，则f（n）（x）＝　 　；f（100）（32）除以17的余数是 　 　．
五．任意角的三角函数的定义（共1小题）
6．（2023•梅州一模）在平面直角坐标系中，点A（2，1）绕着原点O顺时针旋转60°得到点B，点B的横坐标为 　 　．
六．三角函数的周期性（共1小题）
7．（2023•佛山一模）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，）．T为f（x）的最小正周期，且满足．若函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则ω的取值范围是 　 　．
七．正弦函数的图象（共1小题）
8．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是 　 　．（写出符合条件的一个值即可）
八．余弦函数的图象（共1小题）
9．（2023•高州市一模）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+2（ω＞0，﹣＜φ＜）的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是f（x）的最小正零点，则f（φ）＝　 　．
九．两角和与差的三角函数（共1小题）
10．（2023•湛江一模）＝　 　．
一十．二倍角的三角函数（共1小题）
11．（2023•江门一模）已知，，则sinθ的值为 　 　．
一十一．函数的零点与方程根的关系（共2小题）
12．（2023•高州市一模）函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣2nf（x）+＝0有6个不同的实数解，则实数n的取值范围为 　 　．
13．（2023•深圳一模）定义开区间（a，b）的长度为b﹣a．经过估算，函数的零点属于开区间 　 　（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
一十二．等差数列的前n项和（共1小题）
14．（2023•湛江一模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝10，S15＝0，则S16＝　 　．
一十三．数列的求和（共1小题）
15．（2023•广州一模）已知n∈N*，将数列{2n﹣1}与数列{n2﹣1}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，则＝　 　．
一十四．利用导数研究函数的单调性（共2小题）
16．（2023•广州一模）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f'（x），若xf'（x）﹣1＜0．f（e）＝2，则关于x的不等式f（ex）＜x+1的解集为 　 　．
17．（2023•茂名一模）e是自然对数的底数，的零点为 　 　．
一十五．利用导数研究函数的极值（共1小题）
18．（2023•湛江一模）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣a存在两个极值点x1，x2，且x2＝2x1，则a＝　 　．
一十六．利用导数研究曲线上某点切线方程（共1小题）
19．（2023•汕头一模）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ex﹣1﹣1，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为　 　．
一十七．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）
20．（2023•广东一模）已知向量满足，则与的夹角为 　 　．
一十八．投影向量（共1小题）
21．（2023•惠州一模）已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足，设，则在上的投影向量为 　 　．（结果用表示）．
一十九．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题）
22．（2023•广州一模）已知向量与共线，则＝　 　．
二十．球的体积和表面积（共2小题）
23．（2023•汕头一模）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝　 　．

24．（2023•高州市一模）圆锥内有一个球，该球与圆锥的侧面和底面均相切，已知圆锥的底面半径为r1，球的半径为r2，记圆锥的体积为V1，球的体积为V2，当＝　 　时，取最小值 　 　．
二十一．空间向量及其线性运算（共1小题）
25．（2023•江门一模）已知直线l过点A（1，2，0），且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为 　 　．
二十二．直线的斜率（共1小题）
26．（2023•广东一模）在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为，则边AC所在直线斜率的一个可能值为 　 　．
二十三．圆的一般方程（共1小题）
27．（2023•茂名一模）过四点（﹣1，1）、（1，﹣1）、（2，2）、（3，1）中的三点的一个圆的方程为 　 　（写出一个即可）．
二十四．轨迹方程（共1小题）
28．（2023•广州一模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点．且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长为 　 　.点P到直线AF的距离的最小值为 　 　．
二十五．直线与圆的位置关系（共3小题）
29．（2023•惠州一模）过点P（1，1）的弦AB将圆x2+y2＝4的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则|AB|＝　 　．
30．（2023•广东一模）已知动圆N经过点A（﹣6，0）及原点O，点P是圆N与圆M：x2+（y﹣4）2＝4的一个公共点，则当∠OPA最小时，圆N的半径为 　 　．
31．（2023•深圳一模）设a＞0，A（2a，0），B（0，2），O为坐标原点，则以OA为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为 　 　；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P（该点称为直角△OAB的Brocard点），则点P横坐标x的最大值为 　 　．
二十六．椭圆的性质（共1小题）
32．（2023•深圳一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 　 　．
二十七．抛物线的性质（共1小题）
33．（2023•佛山一模）抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若FM⊥FN，且|MF|＝10，则|NF|＝　 　．
二十八．双曲线的性质（共2小题）
34．（2023•汕头一模）过双曲线＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点P，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点M，N，若，则双曲线离心率的取值范围是 　 　．
35．（2023•茂名一模）已知直线x＝2m与双曲线交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若△BDE的内心到y轴的距离不小于，则双曲线C的离心率取值范围是 　 　．
二十九．二项式定理（共6小题）
36．（2023•汕头一模）在的展开式中，xy7的系数为 　 　．
37．（2023•高州市一模）（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为 　 　．
38．（2023•梅州一模）（1+x）（2﹣x）5展开式中x3的系数为 　 　．
39．（2023•茂名一模）的展开式中x2的系数为 　 　（用数字作答）．
40．（2023•深圳一模）（1﹣x）5的展开式中x3的系数为 　 　（用数字作答）．
41．（2023•佛山一模）在（﹣）6展开式中常数项是 　 　．（用数字作答）
三十．进行简单的合情推理（共1小题）
42．（2023•梅州一模）甲、乙、丙三人参加数学知识应用能力比赛，他们分别来自A、B、C三个学校，并分别获得第一、二、三名：已知：①甲不是A校选手；②乙不是B校选手；③A校选手不是第一名；④B校的选手获得第二名；⑤乙不是第三名．根据上述情况，可判断出丙是 　 　校选手，他获得的是第 　 　名．

广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-02填空题（基础题）
参考答案与试题解析
一．函数的最值及其几何意义（共2小题）
1．（2023•江门一模）已知f（x）＝|lnx|，x1，x2是方程f（x）＝a（a∈R）的两根，且x1＜x2，则的最大值是 　　．
【答案】．
【解答】解：由题意x1，x2是方程|lnx|＝a的两根，且x1＜x2，
则a＞0，lnx1＝﹣a，lnx2＝a，即，
所以，（a＞0），
令，（x＞0），，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
则当x＝1时，g（x）取最大值，
所以的最大值是．
故答案为：．
2．（2023•梅州一模）函数f（x）＝的最小值为 　　．
【答案】．
【解答】解：＝，
可表示抛物线y2＝2x上的点，到两定点M（3，2），的距离之和，即|PM|+|PN|，
而点M（3，2）在此抛物线内，点是此抛物线的焦点，抛物线的准线为，设点Q、Q0分别为点P、M在准线l上的投影，

如图，根据抛物线的定义有|PN|＝|PQ|，
则，
故答案为：．
二．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）
3．（2023•佛山一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3﹣3x+1，则f（3）＝　44　．
【答案】44．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3﹣3x+1，
则f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣[2×（﹣27）﹣3×（﹣3）+1]＝44，
故答案为：44．
三．奇偶性与单调性的综合（共1小题）
4．（2023•广东一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，2]上单调递减，f（x+2）为偶函数，若f（x）＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝　24　．
【答案】24．
【解答】解：由f（x+2）为偶函数，则f（﹣x+2）＝f（x+2），故f（﹣x）＝f（x+4），
又f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），
所以f（x）＝﹣f（x+4），故f（x+4）＝﹣f（x+8），即有f（x）＝f（x+8），
综上，f（x）的周期为8，且关于x＝2对称的奇函数，
由f（x）在[0，2]上单调递减，结合上述分析知：在[2，6]上递增，[6，10]上递减，[10，12]上递增，
所以f（x）在[0，12]的大致草图如下：
要使f（x）＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根，即f（x）与y＝m有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于x＝2，x＝10对称，则x1+x2+x3+x4＝24．
故答案为：24．

四．函数的值（共1小题）
5．（2023•湛江一模）已知函数f（x）＝2x+1，记f（2）（x）＝f（f（x））＝2（2x+1）+1＝4x+3为函数f（x）的2次迭代函数，f（3）（x）＝f（f（f（x）））＝4（2x+1）+3＝8x+7为函数f（x）的3次迭代函数，…，依次类推，f（n）（x）＝为函数f（x）的n次迭代函数，则f（n）（x）＝　2n（x+1）﹣10　；f（100）（32）除以17的余数是 　0　．
【答案】2n（x+1）﹣1；0．
【解答】解：由题意，，
所以f（100）（32）＝33×2100﹣1＝33×1625﹣1＝33×（17﹣1）25﹣1
＝，
＝，
＝，
又为正整数，
所以f（100）（32）除以17的余数为0．
故答案为：2n（x+1）﹣1；0．
五．任意角的三角函数的定义（共1小题）
6．（2023•梅州一模）在平面直角坐标系中，点A（2，1）绕着原点O顺时针旋转60°得到点B，点B的横坐标为 　　．
【答案】．
【解答】解：由题意得，
设OA与x轴正半轴的夹角为α，则，
则OB与x轴正半轴的夹角为α﹣60°，
故点B的横坐标为．
故答案为：．
六．三角函数的周期性（共1小题）
7．（2023•佛山一模）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，）．T为f（x）的最小正周期，且满足．若函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则ω的取值范围是 　　．
【答案】．
【解答】解：由题意可得：f（x）的最小正周期，
∵，且，则为f（x）的一条对称轴，
∴，解得，
又∵，则，
故，
∵x∈（0，π），则，
若函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则，解得，
故ω的取值范围是．
故答案为：．
七．正弦函数的图象（共1小题）
8．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是 　（答案不唯一）　．（写出符合条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：由题意得：T＝2•＝π，故ω＝＝2，
故f（x）＝sin（2x+），
故x1＝﹣+＝，
x2＝+，
x3＝2•+，•••••．
故答案为：（答案不唯一）．
八．余弦函数的图象（共1小题）
9．（2023•高州市一模）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+2（ω＞0，﹣＜φ＜）的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是f（x）的最小正零点，则f（φ）＝　1　．
【答案】1．
【解答】解：令函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+2＝0，得cos（ωx+φ）＝﹣1，
所以函数f（x）两个相邻的零点之差的绝对值为T＝，即＝，解得ω＝3，
又因为是f（x）的最小正零点，所以f（）＝2cos（3×+φ）+2＝0，
即cos（+φ）＝﹣1，解得+φ＝π+2kπ，k∈Z，
又因为φ＝+2kπ，k∈Z；且﹣＜φ＜，所以φ＝，
所以f（φ）＝2cos（3×+）+2＝﹣2sin+2＝1．
故答案为：1．
九．两角和与差的三角函数（共1小题）
10．（2023•湛江一模）＝　　．
【答案】．
【解答】解：
＝．
故答案为：．
一十．二倍角的三角函数（共1小题）
11．（2023•江门一模）已知，，则sinθ的值为 　　．
【答案】．
【解答】解：因为，所以，即，
又，所以．
故答案为：．
一十一．函数的零点与方程根的关系（共2小题）
12．（2023•高州市一模）函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣2nf（x）+＝0有6个不同的实数解，则实数n的取值范围为 　（﹣，﹣）　．
【答案】（﹣，﹣）．
【解答】解：f（x）＝的定义域为R，∴f′（x）＝＝＝，
∴当2＜x＜4，f′（x）＜0，当x＜2或x＞4时，f′（x）＞0，
即f（x）在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减，其中f（2）＝0，f（4）＝﹣，
f（x）＝≤0，
令f（x）＝t，要想关于x的方程f2（x）﹣2nf（x）+＝0有6个不同的实数解，
则方程t2﹣2nt+＝0在（﹣，0）上有两个根，
则Δ＝4n2﹣＞0，解得n＞或n＜﹣，
不妨设方程的两个根为t1，t2，且t1＜t2，
则t1t2＝＞0，由两根均小于0，∴t1+t2＝2n＜0，则n＜﹣，
令g（t）＝t2﹣2nt+，则有﹣＜＜0，∴﹣＜n＜0，
又g（﹣）＞0，解得n＞﹣．
综上：实数n的取值范围为（﹣，﹣）．
故答案为：（﹣，﹣）．
13．（2023•深圳一模）定义开区间（a，b）的长度为b﹣a．经过估算，函数的零点属于开区间 　（，）（不唯一）　（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
【答案】（，）（不唯一）．
【解答】解：∵，y＝﹣都是减函数，
∴f（x）＝﹣是减函数，
又f（1）＝＝﹣，
f（）＝（）﹣（）＜0，
f（）＝（）﹣（）＞0，
∴f（）•f（）＜0，
∴函数f（x）在（）上有零点，且＝．
故答案为：（，）（不唯一）．
一十二．等差数列的前n项和（共1小题）
14．（2023•湛江一模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝10，S15＝0，则S16＝　﹣16　．
【答案】﹣16．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为，
所以a8＝a1+7d＝0，
又因为a3＝a1+2d＝10，
所以d＝﹣2，a1＝14，
所以，
所以．
故答案为：﹣16．
一十三．数列的求和（共1小题）
15．（2023•广州一模）已知n∈N*，将数列{2n﹣1}与数列{n2﹣1}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，则＝　　．
【答案】．
【解答】解：设2n﹣1＝m2﹣1，
即2n＝m2，
又2n为偶数，
则m为偶数，
即，
则，
则＝＝，
故答案为：．
一十四．利用导数研究函数的单调性（共2小题）
16．（2023•广州一模）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f'（x），若xf'（x）﹣1＜0．f（e）＝2，则关于x的不等式f（ex）＜x+1的解集为 　（1，+∞）　．
【答案】（1，+∞）．
【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣lnx，则g′（x）＝f′（x）﹣＝，
又由xf'（x）﹣1＜0．则g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上递减，
又由f（e）＝2，则g（e）＝f（e）﹣lne＝1，
f（ex）＜x+1⇔f（ex）﹣x＜1⇔f（ex）﹣lnex＜1⇔g（ex）＜g（e），
必有ex＞e，解可得x＞1，
即不等式的解集为（1，+∞）；
故答案为：（1，+∞）．
17．（2023•茂名一模）e是自然对数的底数，的零点为 　　．
【答案】．
【解答】解：由得，
因为cos（2πx）≥﹣1，
所以，当且仅当2πx＝π+2kπ，k∈Z，即，取等号，
令，g'（x）＝2e﹣2e2x，
令g'（x）＞0解得，
令g'（x）＜0解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以要使，只能k＝0，，
所以f（x）零点为．
故答案为：．
一十五．利用导数研究函数的极值（共1小题）
18．（2023•湛江一模）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣a存在两个极值点x1，x2，且x2＝2x1，则a＝　　．
【答案】．
【解答】解：f（x）的定义域为R，
f′（x）＝ex﹣2ax，
因为函数f（x）＝ex﹣ax2﹣a存在两个极值点x1，x2，且x2＝2x1，
所以f′（x）＝0的两个根为x1，x2，且x2＝2x1，
即ex﹣2ax＝0的两个根为x1，x2，且x2＝2x1，
所以﹣2ax1＝0①，﹣2ax2＝0，且x2＝2x1，
所以﹣4ax1＝0②，
又＞0，
所以由①②得＝2，
所以x1＝ln2，
所以a＝＝，
故答案为：．
一十六．利用导数研究曲线上某点切线方程（共1小题）
19．（2023•汕头一模）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ex﹣1﹣1，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为　y＝x+1　．
【答案】y＝x+1．
【解答】解：由f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＞0时，f（x）＝ex﹣1﹣1，可得x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x﹣1+1，
x＜0时，f（x）的导数为f′（x）＝e﹣x﹣1，
则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为1，
切点为（﹣1，0），
则切线的方程为y﹣0＝x+1，即有y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
一十七．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）
20．（2023•广东一模）已知向量满足，则与的夹角为 　　．
【答案】．
【解答】解：由，
设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，
因为0≤θ≤π，
所以．
故答案为：．
一十八．投影向量（共1小题）
21．（2023•惠州一模）已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足，设，则在上的投影向量为 　　．（结果用表示）．
【答案】．
【解答】解：由，可设A（﹣7，0）、B（7，0），由，
得点C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）．
因为CD是△ABC的角平分线，且，
所以AE也为△ABC的角平分线，所以E为△ABC的内心．
如图，设E（x0，y0），EM⊥AC，EQ⊥AB，EN⊥BC，
则由双曲线与内切圆的性质可得，|AC|﹣|BC|＝|AM|﹣|BN|＝|AQ|﹣|BQ|＝6，
又|AQ|+|BQ|＝14，所以|BQ|＝7﹣3＝4，所以在上的投影长为4，
则在上的投影向量为．
故答案为：．

一十九．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题）
22．（2023•广州一模）已知向量与共线，则＝　2　．
【答案】2．
【解答】解：∵＝（1，2），＝（3，x），∴＝（4，2+x），
∵与共线，
∴2+x＝8，∴x＝6，
∴＝（3，6），∴﹣＝（﹣2，﹣4），
则＝＝2，
故答案为：2．
二十．球的体积和表面积（共2小题）
23．（2023•汕头一模）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝　8π　．

【答案】8π．
【解答】解：设正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面的中心为M、H，
连接MH，
则球O的球心为MH的中点，
过O作OG⊥平面A1D1DA，
∵AB＝4，A1B1＝2，
∴NG＝NM＝1，GF＝FH＝2，
∴FN＝3，
过N作NE⊥FH交FH于点E，
则，
设球O的半径为R，
则，
则S＝4πR2＝8π，
故答案为：8π．

24．（2023•高州市一模）圆锥内有一个球，该球与圆锥的侧面和底面均相切，已知圆锥的底面半径为r1，球的半径为r2，记圆锥的体积为V1，球的体积为V2，当＝　　时，取最小值 　2　．
【答案】，2．
【解答】解：如图，

设球心与圆锥底面圆周上任意一点与圆锥高之间的夹角为θ，则由题意．
根据相切的性质可得，圆锥的轴截面为底角大小的等腰三角形，
故圆锥的高，则，，
故．
设t＝tan2θ﹣1＞0，则，当且仅当，即t＝1时取等号．
此时．故当时，取最小值2．
故答案为：；2
二十一．空间向量及其线性运算（共1小题）
25．（2023•江门一模）已知直线l过点A（1，2，0），且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为 　　．
【答案】．
【解答】解：由题知，直线l过点A（1，2，0），且直线l的方向向量为，点O（0，0，0），
所以，
所以点O（0，0，0）到l的距离为．
故答案为：．
二十二．直线的斜率（共1小题）
26．（2023•广东一模）在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为，则边AC所在直线斜率的一个可能值为 　或　．
【答案】或．
【解答】解：设直线AB的倾斜角为α，由已知得，
设直线AC的倾斜角为θ，则kAc＝tanθ，
因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，
当θ＝α+60°，，
所以，
当θ＝α﹣60°，，
所以，
综上，或．
故答案为：或．
二十三．圆的一般方程（共1小题）
27．（2023•茂名一模）过四点（﹣1，1）、（1，﹣1）、（2，2）、（3，1）中的三点的一个圆的方程为 　（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【答案】（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4（答案不唯一）．
【解答】解：过（﹣1，1），（1，﹣1），（3，1）时，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得，
圆的方程是：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；
同理可得：过（1，﹣1）、（2，2）、（3，1）时，圆的方程是：；
过（﹣1，1），（1，﹣1），（2，2）时，圆的方程是：；
过（﹣1，1），（2，2），（3，1）时，圆的方程是：（x﹣1）2+y2＝5．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4（答案不唯一）．
二十四．轨迹方程（共1小题）
28．（2023•广州一模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点．且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长为 　　.点P到直线AF的距离的最小值为 　　．
【答案】．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BC1，FD1，AD1，
如图，对角面ABC1D1为矩形，

因为点E、F分别是棱BC，CC1的中点，则EF∥BC1∥AD1，而，
即平面AEF截正方体所得截面为梯形AEFD1，显然过点C1与平面AEFD1平行的平面交平面BCC1B1、平面ADD1A1分别于BC1，MN，
因此MN∥BC1∥AD1，连MC1，平面BMNC1，平面AEFD1与平面ACC1A1分别交于MC1，AF，
因此MC1∥AF，而AM∥FC1，即四边形AMC1F为平行四边形，
于是，即点M为AA1的中点，
同理N为A1D1中点，，因为动点P始终满足PC1∥平面AEF，
于是PC1⊂平面BMNC1，又P在侧面ADD1A1上，所以点P的轨迹是线段MN，轨迹长为；
以点D为原点建立空间直角坐标系，
则，
则，
令，
则，
于是点P到直线AF的距离＝，
当且仅当t＝0时取等号，所以点P到直线AF的距离的最小值为．
故答案为：．

二十五．直线与圆的位置关系（共3小题）
29．（2023•惠州一模）过点P（1，1）的弦AB将圆x2+y2＝4的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则|AB|＝　　．
【答案】．
【解答】解：因为弦AB将圆分成两段弧长之差最大，此时AB垂直OP，
由圆的半径为，由勾股定理得．
故答案为：．
30．（2023•广东一模）已知动圆N经过点A（﹣6，0）及原点O，点P是圆N与圆M：x2+（y﹣4）2＝4的一个公共点，则当∠OPA最小时，圆N的半径为 　5　．
【答案】5．
【解答】解：如图：

记圆N半径为R，∠OPA＝θ，则∠ANO＝2θ，∠BNO＝θ，
所以，
当∠OPA最小时，R最大，此时两圆内切．
由已知设动圆N的圆心为N（﹣3，t），
又圆心M（0，4）可得R﹣2＝|MN|，
即，
解得t＝4，所以R＝5，即圆N的半径为5．
故答案为：5．
31．（2023•深圳一模）设a＞0，A（2a，0），B（0，2），O为坐标原点，则以OA为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为 　（x﹣a）2+（y+a2）2＝a2+a4　；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P（该点称为直角△OAB的Brocard点），则点P横坐标x的最大值为 　　．
【答案】（x﹣a）2+（y+a2）2＝a2+a4；．
【解答】解：直线AB的方程为+＝1，即x+ay＝2a，过点A与AB垂直的直线方程为y＝a（x﹣2a），
OA的垂直平行线为x＝a，以OA为弦的圆的圆心为（a，﹣a2），半径r＝＝，
所以所求圆的标准方程为（x﹣a）2+（y+a2）2＝a2+a4①，
以OB为直径的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝1②，
①﹣②得公共弦的方程为2a2y+2y＝2ax，∴y＝x，
代入②得x2+（x）2﹣2×x＝0，
x2＝2×x，∴x＝2×＝2×＝，
∵a+≥2，当且仅当a＝1时取等号，∴t+在[2，+∞）上单调递增，故≥．
故答案为：（x﹣a）2+（y+a2）2＝a2+a4；．
二十六．椭圆的性质（共1小题）
32．（2023•深圳一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 　　．
【答案】．
【解答】解：依题意，由椭圆的性质可知，
点到焦点距离的最大值为a+c，最小值为a﹣c，
所以＝2，化简得＝，即离心率e＝．
故答案为：．
二十七．抛物线的性质（共1小题）
33．（2023•佛山一模）抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若FM⊥FN，且|MF|＝10，则|NF|＝　5　．
【答案】5．
【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝8x，
∴抛物线的焦点F（2，0），准线l：x＝﹣2，
设点M（x0，y0）（x0，y0＞0），
则|MF|＝x0+2＝10，∴x0＝8，
∴，∴y0＝8，∴M（8，8），
∴直线MF的斜率，
∵FM⊥FN，∴直线NF的斜率，
∴直线NF的方程，
令x＝﹣2，解得y＝3，∴N（﹣2，3），
故．
故答案为：5．
二十八．双曲线的性质（共2小题）
34．（2023•汕头一模）过双曲线＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点P，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点M，N，若，则双曲线离心率的取值范围是 　（1，]　．
【答案】（1，]．
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为：y＝±x，
设P为（m，n），则过P且与渐近线平行的两直线方程为：
y﹣n＝±（x﹣m），分别联立两渐近线方程，
解得两交点分别为：M（，），N（，），
∴，又，
∴b2m2﹣a2n2＝a2b2，
∴≥b2，
∴a2≥2b2，
∴a2≥2（c2﹣a2），
∴，∴，又e＞1，
∴e∈（1，]，
故答案为：（1，]．
35．（2023•茂名一模）已知直线x＝2m与双曲线交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若△BDE的内心到y轴的距离不小于，则双曲线C的离心率取值范围是 　（1，]　．
【答案】（1，]．
【解答】解：因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以A（2m，n），B（2m，﹣n），则|AB|＝2n．
因为A是线段BD的中点，又EA⊥y轴，
所以EA⊥BD，|ED|＝|EB|，
所以△BDE的内心G在线段EA上．
因为DG平分∠ADE，所以在△ADE中，＝，
设|EG|＝d，所以＝＝﹣1，
因为G到y轴的距离不小于m，∴m≤d＜2m，
∴≤，
∴≤，故1＜e＝≤．
故答案为：（1，]．

二十九．二项式定理（共6小题）
36．（2023•汕头一模）在的展开式中，xy7的系数为 　﹣720　．
【答案】﹣720．
【解答】解：因为表示10个（x+）因式的乘积，
则从10个因式中选取2个x，1个，7个（﹣y），即可得到xy7的项，
所以xy7的系数为C＝﹣720，
故答案为：﹣720．
37．（2023•高州市一模）（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为 　　．
【答案】．
【解答】解：由二项式定理可得多项式的展开式中不含x的项分别为＝，﹣y×，
故答案为：．
38．（2023•梅州一模）（1+x）（2﹣x）5展开式中x3的系数为 　40　．
【答案】40．
【解答】解：根据题意可知，展开式中含x3的项为和两部分，
所以展开式中x3的系数为﹣40+80＝40．
故答案为：40．
39．（2023•茂名一模）的展开式中x2的系数为 　56　（用数字作答）．
【答案】56．
【解答】解：，
令8﹣2r＝2，解得r＝3，所以，
故的展开式中x2的系数为56．
故答案为：56．
40．（2023•深圳一模）（1﹣x）5的展开式中x3的系数为 　﹣10　（用数字作答）．
【答案】﹣10．
【解答】解：二项式（1﹣x）5的通项为Tr+1＝＝，
令r＝3得，x3的系数为•（﹣1）3＝﹣10．
故答案为：﹣10．
41．（2023•佛山一模）在（﹣）6展开式中常数项是 　15　．（用数字作答）
【答案】15．
【解答】解：在（﹣）6展开式中的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•，
令＝0，求得r＝2，所以展开式的常数项是＝15，
故答案为：15．
三十．进行简单的合情推理（共1小题）
42．（2023•梅州一模）甲、乙、丙三人参加数学知识应用能力比赛，他们分别来自A、B、C三个学校，并分别获得第一、二、三名：已知：①甲不是A校选手；②乙不是B校选手；③A校选手不是第一名；④B校的选手获得第二名；⑤乙不是第三名．根据上述情况，可判断出丙是 　A　校选手，他获得的是第 　三　名．
【答案】A；三．
【解答】解：因为乙不是B校选手且B校的选手获得第二名，
所以乙不是第二名，又因为乙不是第三名，所以乙是第一名，
因为乙不是B校选手且A校选手不是第一名，所以乙是C校选手，
因为甲不是A校选手，所以甲是B校选手，故丙是A校选手，
因为B校的选手获得第二名，所以甲是第二名，故丙是第三名．
故答案为：A；三．