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广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（提升题）1
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这是一份广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（提升题）1，共33页。试卷主要包含了满足a1＝1，，且，已知函数，＝ex+csx﹣2，已知函数，其中a∈R等内容，欢迎下载使用。
广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（提升题）1
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•惠州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+2n﹣5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝log2（an+1﹣2），求数列的前n项和Tn．
2．（2023•广东一模）已知各项都是正数的数列{an}，前n项和Sn满足．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）记Pn是数列的前n项和，Qn是数列的前n项和．当n≥2时，试比较Pn与Qn的大小．
3．（2023•江门一模）已知数列{an}（n∈N+）满足a1＝1，，且．
（1）求数列{bn}是通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
二．利用导数研究函数的最值（共3小题）
4．（2023•惠州一模）已知函数．
（1）当a＝2时，求f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（2）当x≥0时，不等式f（x）≤2恒成立，求a的取值范围．
5．（2023•湛江一模）已知函数f（x）＝ex+cosx﹣2．
（1）证明：函数f（x）只有一个零点；
（2）在区间（0，+∞）上函数f（x）＞ax﹣sinx恒成立，求a的取值范围．
6．（2023•江门一模）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（x）的图象在x＝1处的切线过点（2，1），求a的值；
（2）证明：∀a＞1，f（e﹣a）＜0，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
（3）当a＞2时，求证：f（x）有3个零点，且3个零点之积为定值．
三．解三角形（共1小题）
7．（2023•惠州一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．
（1）当BD长度变化时，cosA﹣cosC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，请求出+的最大值．
四．直线与平面所成的角（共1小题）
8．（2023•江门一模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，O是AD的中点，点E在PC上，且AP∥平面BOE．
（1）求的值；
（2）若OP⊥平面ABCD，OE⊥PC，AB＝2，∠BAD＝60°，求直线OE与平面PBC所成角的正弦值．
五．二面角的平面角及求法（共4小题）
9．（2023•惠州一模）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD．
（1）若点M是AD的中点，求证：C1M∥平面AA1B1B；
（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．
10．（2023•广东一模）如图所示的在多面体中，AB＝AD，EB＝EC，平面ABD⊥平面BCD，平面BCE⊥平面BCD，点F，G分别是CD，BD中点．
（1）证明：平面AFG∥平面BCE；
（2）若，求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值．
11．（2023•湛江一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且，PB⊥BC，∠ADC＝45°．
（1）证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；
（2）求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值．
12．（2023•广州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值．
六．直线与椭圆的综合（共2小题）
13．（2023•湛江一模）已知F1，F2分别为椭圆E：的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A，B两点，△F1AB的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过F1且与l垂直的直线l'与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
14．（2023•广州一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线y＝ax+6相切．
（1）求C的方程；
（2）直线l：y＝k（x﹣1）（k≥0）与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为k'（O为坐标原点），△APQ的面积为S1.△BPQ的面积为S2，若|AP|⋅S2＝|BP|⋅S1，判断k⋅k'是否为定值？并说明理由．
七．直线与双曲线的综合（共1小题）
15．（2023•惠州一模）已知双曲线的焦距为，且双曲线C右支上一动点P（x0，y0）到两条渐近线l1，l2的距离之积为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设直线l是曲线C在点P（x0，y0）处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M，N两点，O为坐标原点，求△MON的面积．
八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
16．（2023•广东一模）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
九．概率的应用（共1小题）
17．（2023•惠州一模）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn．
（ⅰ）证明：为等比数列；
（ⅱ）证明：当n≥2时，Pn≤．
一十．线性回归方程（共1小题）
18．（2023•江门一模）某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图．
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
z＝lny
﹣0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
（1）该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y＝bx+a和②y＝edx+c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）
（2）根据下表中数据，用相关指数R2（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
经验回归方程
残差平方和
y＝bx+a
y＝edx+c
18.29
0.65
参考公式及数据：＝＝，，R2＝1﹣＝，，e3.4＝30．
广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（提升题）1
参考答案与试题解析
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•惠州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+2n﹣5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝log2（an+1﹣2），求数列的前n项和Tn．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）当n＝1时，S1＝a1＝2a1+2﹣5，解得a1＝3，
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1+2（n﹣1）﹣5．
可得Sn﹣Sn﹣1＝2an+2n﹣5﹣[2an﹣1+2（n﹣1）﹣5]，
整理得：an＝2an﹣1﹣2，
从而an﹣2＝2（an﹣1﹣2）（n≥2），
又a1﹣2＝1，所以数列{an﹣2}是首项为1，公比为2的等比数列；
所以，
所以，经检验，a1＝3满足，
综上，数列{an}的通项公式为；
（2）由（1）得，所以，
所以bn＝log2（an+1﹣2）＝n，
所以，
所以
＝
＝．
2．（2023•广东一模）已知各项都是正数的数列{an}，前n项和Sn满足．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）记Pn是数列的前n项和，Qn是数列的前n项和．当n≥2时，试比较Pn与Qn的大小．
【答案】（1）an＝n；
（2）Pn＜Qn．
【解答】解：（1）当n＝1时，，所以a1＝1或a1＝0（舍去），
当n≥2时，有
两式相减得，
整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝an+an﹣1，
因为{an}的各项都是正数，所以an﹣an﹣1＝1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以an＝1+1⋅（n﹣1）＝n；
（2）由（1）得，则，
所以，
由（1）得，
所以，
因为，
所以，故，
所以当n≥2时，Pn＜Qn．
3．（2023•江门一模）已知数列{an}（n∈N+）满足a1＝1，，且．
（1）求数列{bn}是通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为，所以，
又，所以，
所以，又b1＝a1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，，所以，
所以，
，
两式相减可得：，
所以，
故．
二．利用导数研究函数的最值（共3小题）
4．（2023•惠州一模）已知函数．
（1）当a＝2时，求f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（2）当x≥0时，不等式f（x）≤2恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）ex+y＝0；
（2）（﹣∞，2]．
【解答】解：（1）当a＝2时，，∴，
故切线的斜率k＝f'（﹣1）＝﹣e，又f（﹣1）＝e，∴切点为（﹣1，e），
∴切线方程为y﹣e＝﹣e（x+1），化简得ex+y＝0．
（2）法1：当x≥0时，f（x）≤2恒成立，故，
也就是x2+ax+a≤2ex，即a（x+1）≤2ex﹣x2，
由x+1＞0得，令，
则，
令t（x）＝2ex﹣x﹣2，则t'（x）＝2ex﹣1，
可知t′（x）在[0，+∞）单调递增，则t'（x）≥t'（0）＝1，即t'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故t（x）在[0，+∞）单调递增，所以t（x）≥t（0）＝0，故h'（x）≥0在[0，+∞）恒成立，
所以h（x）在[0，+∞）单调递增，而h（0）＝2，所以h（x）≥2，故a≤2，
即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
法2：因为当x≥0时，f（x）≤2恒成立，故f（x）max≤2，
由，
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝2﹣a，
①当2﹣a≤0，即a≥2时，f'（x）≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴，∴a＞2不合题意，a＝2合题意．
②当2﹣a＞0，即a＜2时，
当x∈[0，2﹣a）时f'（x）＞0，当x∈（2﹣a，+∞）时f'（x）＜0，
故f（x）在[0，2﹣a）上单调递增，在（2﹣a，+∞）上单调递减，∴，
设，则恒成立，∴在（0，+∞）上单调递减，
故，即f（x）max＜2，合题意．
综上，a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
法3：因为当x≥0时，f（x）≤2恒成立，也就是x2+ax+a≤2ex，
即2ex﹣x2﹣ax﹣a≥0恒成立，令h（x）＝2ex﹣x2﹣ax﹣a，x∈[0，+∞），
令S（x）＝h'（x）＝2ex﹣2x﹣a，S'（x）＝2ex﹣2，∵x≥0，∴ex≥1，∴S'（x）≥0恒成立，
∴h'（x）在[0，+∞）上单调递增．∴h'（x）min＝h'（0）＝2﹣a．
①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）min＝h（0）＝2﹣a≥0，合题意；
②当2﹣a＜0，即a＞2时，，
因为h'（0）＝2﹣a＜0，，
存在x0∈（0，+∞），使得h'（x0）＝0，即，
∴h（x）在[0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴，不合题意．
综上，a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
5．（2023•湛江一模）已知函数f（x）＝ex+cosx﹣2．
（1）证明：函数f（x）只有一个零点；
（2）在区间（0，+∞）上函数f（x）＞ax﹣sinx恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（﹣∞，2]．
【解答】解：（1）证明：由f（x）＝ex+cosx﹣2可得f（0）＝e0+cos0﹣2＝0，
当x＜0时，ex＜1，cosx≤1，所以ex+cosx＜2，
故ex+cosx﹣2＜0，故f（x）在区间（﹣∞，0）上无零点．
当x≥0时，f'（x）＝ex﹣sinx，而ex≥1，﹣sinx≥﹣1，且等号不会同时取到，
所以f'（x）＝ex﹣sinx＞0，
所以当x≥0时，函数f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，
故函数f（x）在区间[0，+∞）上有唯一零点0，
综上，函数f（x）在定义域上有唯一零点．
（2）由f（x）＞ax﹣sinx在区间（0，+∞）上恒成立，得ex+cosx﹣2＞ax﹣sinx，
即ex+sinx+cosx﹣2﹣ax＞0在区间（0，+∞）上恒成立．
设g（x）＝ex+sinx+cosx﹣2﹣ax，则g（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，
而g'（x）＝ex+cosx﹣sinx﹣a，m（x）＝ex+cosx﹣sinx﹣a，则m'（x）＝ex﹣sinx﹣cosx．
设h（x）＝ex﹣x﹣1，则h'（x）＝ex﹣1，当x＞0时，h'（x）＞0，
所以函数h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故在区间（0，+∞）上，h（x）＞h（0）＝0，
即在区间（0，+∞）上ex＞x+1，
设函数p（x）＝x﹣sinx，x∈（0，+∞），则p'（x）＝1﹣cos≥0，
所以函数p（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
故在区间（0，+∞）上p（x）＞p（0）＝0，即在区间（0，+∞）上，x＞sinx，
所以在区间（0，+∞）上，ex＞x+1＞sinx+cosx，即m'（x）＝ex﹣sinx﹣cosx＞0，
所以在区间（0，+∞）上函数g'（x）单调递增．
当a≤2时，g'（0）＝2﹣a≥0，故在区间（0，+∞）上函数g'（x）＞0，
所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
又g（0）＝0，故g（x）＞0，即函数f（x）＞ax﹣sinx在区间（0，+∞）上恒成立．
当a＞2时，g'（0）＝2﹣a＜0，g'[ln（a+2）]＝a+2+cos[ln（a+2）]﹣sin[ln（a+2）]﹣a＝，
故在区间（0，ln（a+2））上函数g'（x）存在零点x0，即g'（x0）＝0，
又在区间（0，+∞）上函数g'（x）单调递增，
故在区间（0，x0）上函数g'（x）＜g'（x0）＝0，所以在区间（0，x0）上函数g（x）单调递减，
又g（0）＝0，所以在区间（0，x0）上函数g（x）＜g（0）＝0，与题设矛盾．
综上，a的取值范围为（﹣∞，2]．
6．（2023•江门一模）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（x）的图象在x＝1处的切线过点（2，1），求a的值；
（2）证明：∀a＞1，f（e﹣a）＜0，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
（3）当a＞2时，求证：f（x）有3个零点，且3个零点之积为定值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由条件得：，∴f'（1）＝2﹣a，
又，∴f（x）在x＝1处的切线为：y＝（2﹣a）（x﹣1），
∵f（x）的图象在x＝1处的切线过点（2，1），
∴1＝（2﹣a）（2﹣1），
∴a＝1．
（2）证明：f（e﹣a）＝e﹣a﹣ea+a2，令g（a）＝e﹣a﹣ea+a2，a＞1，则g'（a）＝﹣e﹣a﹣ea+2a，
令h（a）＝﹣e﹣a﹣ea+2a，h'（a）＝e﹣a﹣ea+2＜e﹣1﹣e+2＜0，
∴h（a）在（1，+∞）递减，
∴h（a）＜h（1）＝﹣e﹣1﹣e+2＜0，即g'（a）＜0，
∴g（a）在（1，+∞）递减，
∴g（a）＜g（1）＝e﹣1﹣e+1＜0，即∀a＞1，f（e﹣a）＜0；
（3）证明：f（x）的定义域为：（0，+∞），，
a＞2时，由f'（x）＝0得：，，
x∈（0，x1）时，f'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，f（x）在（x1，x2）递减，
∴f（x）至多有三个零点．
∵（a﹣2）2﹣（a2﹣4）＝﹣4a+8＜0，
∴，
∴，
又f（1）＝0，f（x）在（x1，1）递减，
∴f（x1）＞f（1）＝0，又由（2）知f（e﹣a）＜0，所以e﹣a＜x1＜1，
结合零点存在定理知：使得f（x0）＝0，
又∴∀x＞0，，
∴，又x0∈（0，1），，
∴f（x）恰有三个零点：x0，1，，
∴a＞2时，f（x）的所有零点之积为（定值）．
三．解三角形（共1小题）
7．（2023•惠州一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．
（1）当BD长度变化时，cosA﹣cosC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，请求出+的最大值．
【答案】（1）为定值，定值为1；
（2）14．
【解答】解：（1）法一：在△ABD中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在△BCD中，，
即②，
①﹣②得，
所以当BD长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在△ABD中，由余弦定理BD2＝AD2+AB2﹣2AD⋅ABcosA，
得，即，
同理，在△BCD中，BD2＝CD2+CB2﹣2CD⋅CBcosC＝8﹣8cosC，
所以，
化简得，即，
所以当BD长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
＝12sin2A+4sin2C＝12sin2A+4﹣4cos2C
＝
＝，
令cosA＝t，t∈（﹣1，1），
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
四．直线与平面所成的角（共1小题）
8．（2023•江门一模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，O是AD的中点，点E在PC上，且AP∥平面BOE．
（1）求的值；
（2）若OP⊥平面ABCD，OE⊥PC，AB＝2，∠BAD＝60°，求直线OE与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）连接AC与BO交于点F，
因为底面ABCD是菱形，O是AD的中点，所以AO∥BC，且，
所以．因为AP∥平面BOE，AP⊂平面APC，
平面APC∩平面BOE＝EF，
所以AP∥EF，
所以，所以；
（2）因为底面ABCD是菱形，O是AD的中点，∠BAD＝60°，所以BO⊥AD．
因为OP⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以OP⊥AD，OP⊥BO，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
则．
设P（0，0，h），h＞0，则，
所以．
因为OE⊥PC，所以，解得．
所以．
设为平面PBC的法向量，
则，得，
取，所以为平面PBC的一个法向量．
因为，
所以直线OE与平面PAB所成角的正弦值是．
五．二面角的平面角及求法（共4小题）
9．（2023•惠州一模）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD．
（1）若点M是AD的中点，求证：C1M∥平面AA1B1B；
（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）连接B1A，由已知得，B1C1∥BC∥AD，且
所以四边形AB1C1M是平行四边形，即C1M∥B1A…（2分）
又C1M⊄平面AA1B1B，B1A⊂平面AA1B1B，
所以C1M∥平面AA1B1B…（4分）
解：（2）取BC中点Q，连接AQ，因为ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，
所以△ABC是正三角形，所以AQ⊥BC，即AQ⊥AD，
由于AA1⊥平面ABCD…（6分）
所以，分别以AQ，AD，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图A（0，0，0），A1（0，0，1），D1（0，1，1），
假设点E存在，设点E的坐标为，﹣1≤λ≤1，
，…（7分）
设平面AD1E的法向量
则，即，可取…（9分）
平面ADD1的法向量为…（10分）
所以，，解得：…（11分）
又由于二面角E﹣AD1﹣D大小为锐角，由图可知，点E在线段QC上，
所以，即…（12分）
10．（2023•广东一模）如图所示的在多面体中，AB＝AD，EB＝EC，平面ABD⊥平面BCD，平面BCE⊥平面BCD，点F，G分别是CD，BD中点．
（1）证明：平面AFG∥平面BCE；
（2）若，求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：如图，取BC中点H，连接EH，因为EB＝EC，所以EH⊥BC，
又因为平面BCE⊥平面BCD，平面BCE∩平面BCD＝BC，EH⊂平面BCE，
所以EH⊥平面BCD，
同理可得AG⊥平面BCD，
所以EH∥AG，
又因为AG⊄平面BCE，EH⊂平面BCE，所以AG∥平面BCE，
因为点F，G分别是CD，BD中点，所以FG∥BC，
又因为FG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以FG∥平面BCE，
又因为AG∩FG＝G，AG，FG⊂平面AFG，所以平面AFG∥平面BCE．
（2）因为BC⊥BD，BC∥FG，所以FG⊥BD，
由（1）知AG⊥BD，AG⊥平面BCD，GF⊂平面BCD，
所以AG⊥GF，
所以GF，GB，GA两两相互垂直，
如图，以点G为坐标原点，GF，GB，GA分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为，所以GA＝GB＝1，EH＝2，BH＝1，
则A（0，0，1），C（2，1，0），E（1，1，2），
平面AFG的一个法向量为，
设平面ACE的法向量为，
由，
得，即，解得，
取x＝2，得，
设平面AFG和平面ACE的夹角为θ，
则，
所以平面AFG和平面ACE的夹角的余弦值为．
11．（2023•湛江一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且，PB⊥BC，∠ADC＝45°．
（1）证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；
（2）求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：如图，过点B在平面ABCD内作BO垂直于AD，
且BO交DA的延长线于点O，连接OP，
∵PB⊥BC，AD∥BC，
∴PB⊥DO，又BO⊥DO，PB，BO⊂平面POB，且BO∩PB＝B，
∴DO⊥平面POB，又PO⊂平面POB，
∴DO⊥PO，即AO⊥PO，
∵∠ADC＝45°，AB∥DC，
∴∠OAB＝45°，又OA⊥OB，
∴∠OBA＝45°＝∠OAB，∴OA＝OB，
∵△PAB为等边三角形，∴PA＝PB，又PO＝PO，
∴△POA≌△POB，又PO⊥OA，
∴PO⊥OB，又OA，OB⊂平面ABCD，且OA∩OB＝O，
∴PO⊥平面ABCD，
∴点O为点P在平面ABCD的正投影，又点O在直线AD上，
∴点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；
（2）由（1）得PO，OB，OA两两垂直，
∴分别以OB，OA，OP所在直线为x，y，z轴，建系如图，
由题意可得，又，
∴，，，，
∴，，，
设平面PBC的法向量为，
则，取，
设平面PDC的法向量为，
则，取，
∴，
∴平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为．
12．（2023•广州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值．
【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．
【解答】（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OB，
因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以OP⊥AD，
在直角梯形ABCD中，因为AD＝2BC＝2OD，BC∥AD，
所以四边形BCDO为平行四边形，
又CD⊥AD，所以OB⊥AD，
因为OP∩OB＝O，OP、OB⊂平面POB，
所以AD⊥平面POB，
因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB．
（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（4，0，0），B（2，2，0），
由（1）知，AD⊥平面POB，
因为AD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面POB，
又OP＝OB＝2，PB＝2，所以∠POB＝120°，
所以P（2，﹣1，），
所以＝（﹣2，﹣1，），＝（﹣2，2，0），
设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝1，z＝，所以＝（1，1，），
易知，平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），
设平面PAB与平面ABCD的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝，
所以sinθ＝＝，
故平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值为．
六．直线与椭圆的综合（共2小题）
13．（2023•湛江一模）已知F1，F2分别为椭圆E：的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A，B两点，△F1AB的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过F1且与l垂直的直线l'与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意，椭圆E的离心率为，可得，
又由椭圆的定义，可知|AB|+|AF1|+|AF2|＝4a＝8，所以a＝2，所以c＝1，
又因为a2＝b2+c2，所以b2＝3，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）设A（x1，y1）B（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，
由，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
则有，，
故|AB|＝•＝＝12×，
又由直线l'的方程为，设C（x3，y3），D（x4，y4），
联立方程组，整理得，
则有，，
则，
所以四边形ABCD的面积：＝＝，
因为，
当且仅当m2＝1时，等号成立，
所以，
综上，四边形ACBD面积的最小值为．
14．（2023•广州一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线y＝ax+6相切．
（1）求C的方程；
（2）直线l：y＝k（x﹣1）（k≥0）与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为k'（O为坐标原点），△APQ的面积为S1.△BPQ的面积为S2，若|AP|⋅S2＝|BP|⋅S1，判断k⋅k'是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）+＝1；
（2）k⋅k'为定值，且k⋅k'＝．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得＝，即有a2＝2b2，
由以C的短轴为直径的圆与直线y＝ax+6相切得：＝b，联立解得a2＝8，b2＝4，
∴C的方程为+＝1；
（2）k⋅k'为定值，且k⋅k'＝，
∵|AP|⋅S2＝|BP|⋅S1，则＝＝＝，
因此sin∠APQ＝sin∠BPQ，而∠APQ+∠BPQ＝∠ABP∈（0，π），有∠APQ＝∠BPQ，
于是可得PQ平分∠APB，∴直线AP，BP的斜率互为相反数，即kAP+kBP＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
由，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0．
∴x1+x2＝，x1x2＝，
而kAP+kBP＝+＝0，∴（y1﹣y0）（x2﹣x0）+（y2﹣y0）（x1﹣x0）＝0，
即[k（x1﹣1）﹣y0]（x2﹣x0）+[k（x2﹣1）﹣y0]（x1﹣x0）＝2kx1x2﹣（y0+kx0+k）（x1+x2）+2x0（y0+k）＝0，
∴2k×﹣（y0+kx0+k）×+2x0（y0+k）＝0，
∴2k（2k2﹣8）﹣4k2（y0+kx0+k）+2x0（y0+k）（1+2k2）＝0．
化简得2y0（x0﹣1）k2+（x0﹣8）k+x0y0＝0．
又∵P（x0，y0）在椭圆上，∴+＝1，∴+2＝8，
∴2y0（x0﹣1）k2+（﹣2﹣+x0）k+x0y0＝0，
∴（2y0k﹣x0）[（x0﹣1）k﹣y0]＝0，
又∵P（x0，y0）不在直线l：y＝k（x﹣1），则有2y0k﹣x0＝0，
即k×＝k⋅k'＝，
∴k⋅k'为定值，且k⋅k'＝．
七．直线与双曲线的综合（共1小题）
15．（2023•惠州一模）已知双曲线的焦距为，且双曲线C右支上一动点P（x0，y0）到两条渐近线l1，l2的距离之积为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设直线l是曲线C在点P（x0，y0）处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M，N两点，O为坐标原点，求△MON的面积．
【答案】（1）；
（2）2．
【解答】解：（1）双曲线C的渐近线方程为bx+ay＝0和bx﹣ay＝0，
所以有，
由题意可得，
又，则c2＝a2+b2＝5，解得a＝2，b＝1，则双曲线的方程为；
（2）当直线斜率不存在时，易知此时P（2，0），直线l：x＝2，
不妨设M（2，1），N（2，﹣1），得S△MON＝2；
当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，
与双曲线的方程x2﹣4y2＝4联立，可得（4k2﹣1）x2+8kmx+4m2+4＝0，
由直线与双曲线的右支相切，可得Δ＝（8km）2﹣4（4k2﹣1）（4m2+4）＝0，故4k2＝m2+1，
设直线l与x轴交于D，则．
又双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，
同理可得，
＝．
综上，△MON面积为2．
八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
16．（2023•广东一模）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
【答案】（1）X的分布列为：
X
0
1
2
P
数学期望：
（2）Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
数学期望：
（3）答案见解析．
【解答】解：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
则，
，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
所以X的数学期望为；
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
所以Y的数学期望为．
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，
即，第（1）不中奖的概率比第（2）问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽．
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖．
九．概率的应用（共1小题）
17．（2023•惠州一模）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn．
（ⅰ）证明：为等比数列；
（ⅱ）证明：当n≥2时，Pn≤．
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解析；
（ii）证明见解析．
【解答】（1）解：设A1＝“第1天选择米饭套餐”，A2＝“第2天选择米饭套餐”，
则＝“第1天不选择米饭套餐”，
由题意可得，，，，，
由全概率公式可得，；
（2）证明：（i）设An＝“第n天选择米饭套餐”，
则Pn＝P（An），则，
由题意，，，
由全概率公式可得，，
因此，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）可得，
当n为大于1的奇数时，；
当n为正偶数时，．
综上所述，当n≥2时，．
一十．线性回归方程（共1小题）
18．（2023•江门一模）某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图．
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
z＝lny
﹣0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
（1）该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y＝bx+a和②y＝edx+c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）
（2）根据下表中数据，用相关指数R2（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
经验回归方程
残差平方和
y＝bx+a
y＝edx+c
18.29
0.65
参考公式及数据：＝＝，，R2＝1﹣＝，，e3.4＝30．
【答案】（1）y＝2.1x﹣3.4，y＝e0.6x﹣1.4；
（2）30（千件）．
【解答】解：（1）由题可得，，，，
所以，，
方案①回归方程y＝2.1x﹣3.4，
对y＝edx+c两边取对数得：lny＝dx+c，令z＝lny，z＝dx+c是一元线性回归方程，，，，
方案②回归方程y＝e0.6x﹣1.4；
（2）方案①相关指数，
方案②相关指数，，
故模型②的拟合效果更好，精度更高，
当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量y＝e4.8﹣1.4＝e3.4＝30（千件）．
广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（提升题）1
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•惠州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+2n﹣5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝log2（an+1﹣2），求数列的前n项和Tn．
2．（2023•广东一模）已知各项都是正数的数列{an}，前n项和Sn满足．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）记Pn是数列的前n项和，Qn是数列的前n项和．当n≥2时，试比较Pn与Qn的大小．
3．（2023•江门一模）已知数列{an}（n∈N+）满足a1＝1，，且．
（1）求数列{bn}是通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
二．利用导数研究函数的最值（共3小题）
4．（2023•惠州一模）已知函数．
（1）当a＝2时，求f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（2）当x≥0时，不等式f（x）≤2恒成立，求a的取值范围．
5．（2023•湛江一模）已知函数f（x）＝ex+cosx﹣2．
（1）证明：函数f（x）只有一个零点；
（2）在区间（0，+∞）上函数f（x）＞ax﹣sinx恒成立，求a的取值范围．
6．（2023•江门一模）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（x）的图象在x＝1处的切线过点（2，1），求a的值；
（2）证明：∀a＞1，f（e﹣a）＜0，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
（3）当a＞2时，求证：f（x）有3个零点，且3个零点之积为定值．
三．解三角形（共1小题）
7．（2023•惠州一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．
（1）当BD长度变化时，cosA﹣cosC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，请求出+的最大值．
四．直线与平面所成的角（共1小题）
8．（2023•江门一模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，O是AD的中点，点E在PC上，且AP∥平面BOE．
（1）求的值；
（2）若OP⊥平面ABCD，OE⊥PC，AB＝2，∠BAD＝60°，求直线OE与平面PBC所成角的正弦值．
五．二面角的平面角及求法（共4小题）
9．（2023•惠州一模）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD．
（1）若点M是AD的中点，求证：C1M∥平面AA1B1B；
（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．
10．（2023•广东一模）如图所示的在多面体中，AB＝AD，EB＝EC，平面ABD⊥平面BCD，平面BCE⊥平面BCD，点F，G分别是CD，BD中点．
（1）证明：平面AFG∥平面BCE；
（2）若，求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值．
11．（2023•湛江一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且，PB⊥BC，∠ADC＝45°．
（1）证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；
（2）求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值．
12．（2023•广州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值．
六．直线与椭圆的综合（共2小题）
13．（2023•湛江一模）已知F1，F2分别为椭圆E：的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A，B两点，△F1AB的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过F1且与l垂直的直线l'与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
14．（2023•广州一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线y＝ax+6相切．
（1）求C的方程；
（2）直线l：y＝k（x﹣1）（k≥0）与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为k'（O为坐标原点），△APQ的面积为S1.△BPQ的面积为S2，若|AP|⋅S2＝|BP|⋅S1，判断k⋅k'是否为定值？并说明理由．
七．直线与双曲线的综合（共1小题）
15．（2023•惠州一模）已知双曲线的焦距为，且双曲线C右支上一动点P（x0，y0）到两条渐近线l1，l2的距离之积为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设直线l是曲线C在点P（x0，y0）处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M，N两点，O为坐标原点，求△MON的面积．
八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
16．（2023•广东一模）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
九．概率的应用（共1小题）
17．（2023•惠州一模）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn．
（ⅰ）证明：为等比数列；
（ⅱ）证明：当n≥2时，Pn≤．
一十．线性回归方程（共1小题）
18．（2023•江门一模）某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图．
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
z＝lny
﹣0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
（1）该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y＝bx+a和②y＝edx+c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）
（2）根据下表中数据，用相关指数R2（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
经验回归方程
残差平方和
y＝bx+a
y＝edx+c
18.29
0.65
参考公式及数据：＝＝，，R2＝1﹣＝，，e3.4＝30．
广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（提升题）1
参考答案与试题解析
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•惠州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+2n﹣5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝log2（an+1﹣2），求数列的前n项和Tn．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）当n＝1时，S1＝a1＝2a1+2﹣5，解得a1＝3，
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1+2（n﹣1）﹣5．
可得Sn﹣Sn﹣1＝2an+2n﹣5﹣[2an﹣1+2（n﹣1）﹣5]，
整理得：an＝2an﹣1﹣2，
从而an﹣2＝2（an﹣1﹣2）（n≥2），
又a1﹣2＝1，所以数列{an﹣2}是首项为1，公比为2的等比数列；
所以，
所以，经检验，a1＝3满足，
综上，数列{an}的通项公式为；
（2）由（1）得，所以，
所以bn＝log2（an+1﹣2）＝n，
所以，
所以
＝
＝．
2．（2023•广东一模）已知各项都是正数的数列{an}，前n项和Sn满足．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）记Pn是数列的前n项和，Qn是数列的前n项和．当n≥2时，试比较Pn与Qn的大小．
【答案】（1）an＝n；
（2）Pn＜Qn．
【解答】解：（1）当n＝1时，，所以a1＝1或a1＝0（舍去），
当n≥2时，有
两式相减得，
整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝an+an﹣1，
因为{an}的各项都是正数，所以an﹣an﹣1＝1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以an＝1+1⋅（n﹣1）＝n；
（2）由（1）得，则，
所以，
由（1）得，
所以，
因为，
所以，故，
所以当n≥2时，Pn＜Qn．
3．（2023•江门一模）已知数列{an}（n∈N+）满足a1＝1，，且．
（1）求数列{bn}是通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为，所以，
又，所以，
所以，又b1＝a1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，，所以，
所以，
，
两式相减可得：，
所以，
故．
二．利用导数研究函数的最值（共3小题）
4．（2023•惠州一模）已知函数．
（1）当a＝2时，求f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（2）当x≥0时，不等式f（x）≤2恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）ex+y＝0；
（2）（﹣∞，2]．
【解答】解：（1）当a＝2时，，∴，
故切线的斜率k＝f'（﹣1）＝﹣e，又f（﹣1）＝e，∴切点为（﹣1，e），
∴切线方程为y﹣e＝﹣e（x+1），化简得ex+y＝0．
（2）法1：当x≥0时，f（x）≤2恒成立，故，
也就是x2+ax+a≤2ex，即a（x+1）≤2ex﹣x2，
由x+1＞0得，令，
则，
令t（x）＝2ex﹣x﹣2，则t'（x）＝2ex﹣1，
可知t′（x）在[0，+∞）单调递增，则t'（x）≥t'（0）＝1，即t'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故t（x）在[0，+∞）单调递增，所以t（x）≥t（0）＝0，故h'（x）≥0在[0，+∞）恒成立，
所以h（x）在[0，+∞）单调递增，而h（0）＝2，所以h（x）≥2，故a≤2，
即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
法2：因为当x≥0时，f（x）≤2恒成立，故f（x）max≤2，
由，
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝2﹣a，
①当2﹣a≤0，即a≥2时，f'（x）≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴，∴a＞2不合题意，a＝2合题意．
②当2﹣a＞0，即a＜2时，
当x∈[0，2﹣a）时f'（x）＞0，当x∈（2﹣a，+∞）时f'（x）＜0，
故f（x）在[0，2﹣a）上单调递增，在（2﹣a，+∞）上单调递减，∴，
设，则恒成立，∴在（0，+∞）上单调递减，
故，即f（x）max＜2，合题意．
综上，a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
法3：因为当x≥0时，f（x）≤2恒成立，也就是x2+ax+a≤2ex，
即2ex﹣x2﹣ax﹣a≥0恒成立，令h（x）＝2ex﹣x2﹣ax﹣a，x∈[0，+∞），
令S（x）＝h'（x）＝2ex﹣2x﹣a，S'（x）＝2ex﹣2，∵x≥0，∴ex≥1，∴S'（x）≥0恒成立，
∴h'（x）在[0，+∞）上单调递增．∴h'（x）min＝h'（0）＝2﹣a．
①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）min＝h（0）＝2﹣a≥0，合题意；
②当2﹣a＜0，即a＞2时，，
因为h'（0）＝2﹣a＜0，，
存在x0∈（0，+∞），使得h'（x0）＝0，即，
∴h（x）在[0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴，不合题意．
综上，a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
5．（2023•湛江一模）已知函数f（x）＝ex+cosx﹣2．
（1）证明：函数f（x）只有一个零点；
（2）在区间（0，+∞）上函数f（x）＞ax﹣sinx恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（﹣∞，2]．
【解答】解：（1）证明：由f（x）＝ex+cosx﹣2可得f（0）＝e0+cos0﹣2＝0，
当x＜0时，ex＜1，cosx≤1，所以ex+cosx＜2，
故ex+cosx﹣2＜0，故f（x）在区间（﹣∞，0）上无零点．
当x≥0时，f'（x）＝ex﹣sinx，而ex≥1，﹣sinx≥﹣1，且等号不会同时取到，
所以f'（x）＝ex﹣sinx＞0，
所以当x≥0时，函数f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，
故函数f（x）在区间[0，+∞）上有唯一零点0，
综上，函数f（x）在定义域上有唯一零点．
（2）由f（x）＞ax﹣sinx在区间（0，+∞）上恒成立，得ex+cosx﹣2＞ax﹣sinx，
即ex+sinx+cosx﹣2﹣ax＞0在区间（0，+∞）上恒成立．
设g（x）＝ex+sinx+cosx﹣2﹣ax，则g（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，
而g'（x）＝ex+cosx﹣sinx﹣a，m（x）＝ex+cosx﹣sinx﹣a，则m'（x）＝ex﹣sinx﹣cosx．
设h（x）＝ex﹣x﹣1，则h'（x）＝ex﹣1，当x＞0时，h'（x）＞0，
所以函数h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故在区间（0，+∞）上，h（x）＞h（0）＝0，
即在区间（0，+∞）上ex＞x+1，
设函数p（x）＝x﹣sinx，x∈（0，+∞），则p'（x）＝1﹣cos≥0，
所以函数p（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
故在区间（0，+∞）上p（x）＞p（0）＝0，即在区间（0，+∞）上，x＞sinx，
所以在区间（0，+∞）上，ex＞x+1＞sinx+cosx，即m'（x）＝ex﹣sinx﹣cosx＞0，
所以在区间（0，+∞）上函数g'（x）单调递增．
当a≤2时，g'（0）＝2﹣a≥0，故在区间（0，+∞）上函数g'（x）＞0，
所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
又g（0）＝0，故g（x）＞0，即函数f（x）＞ax﹣sinx在区间（0，+∞）上恒成立．
当a＞2时，g'（0）＝2﹣a＜0，g'[ln（a+2）]＝a+2+cos[ln（a+2）]﹣sin[ln（a+2）]﹣a＝，
故在区间（0，ln（a+2））上函数g'（x）存在零点x0，即g'（x0）＝0，
又在区间（0，+∞）上函数g'（x）单调递增，
故在区间（0，x0）上函数g'（x）＜g'（x0）＝0，所以在区间（0，x0）上函数g（x）单调递减，
又g（0）＝0，所以在区间（0，x0）上函数g（x）＜g（0）＝0，与题设矛盾．
综上，a的取值范围为（﹣∞，2]．
6．（2023•江门一模）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（x）的图象在x＝1处的切线过点（2，1），求a的值；
（2）证明：∀a＞1，f（e﹣a）＜0，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
（3）当a＞2时，求证：f（x）有3个零点，且3个零点之积为定值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由条件得：，∴f'（1）＝2﹣a，
又，∴f（x）在x＝1处的切线为：y＝（2﹣a）（x﹣1），
∵f（x）的图象在x＝1处的切线过点（2，1），
∴1＝（2﹣a）（2﹣1），
∴a＝1．
（2）证明：f（e﹣a）＝e﹣a﹣ea+a2，令g（a）＝e﹣a﹣ea+a2，a＞1，则g'（a）＝﹣e﹣a﹣ea+2a，
令h（a）＝﹣e﹣a﹣ea+2a，h'（a）＝e﹣a﹣ea+2＜e﹣1﹣e+2＜0，
∴h（a）在（1，+∞）递减，
∴h（a）＜h（1）＝﹣e﹣1﹣e+2＜0，即g'（a）＜0，
∴g（a）在（1，+∞）递减，
∴g（a）＜g（1）＝e﹣1﹣e+1＜0，即∀a＞1，f（e﹣a）＜0；
（3）证明：f（x）的定义域为：（0，+∞），，
a＞2时，由f'（x）＝0得：，，
x∈（0，x1）时，f'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，f（x）在（x1，x2）递减，
∴f（x）至多有三个零点．
∵（a﹣2）2﹣（a2﹣4）＝﹣4a+8＜0，
∴，
∴，
又f（1）＝0，f（x）在（x1，1）递减，
∴f（x1）＞f（1）＝0，又由（2）知f（e﹣a）＜0，所以e﹣a＜x1＜1，
结合零点存在定理知：使得f（x0）＝0，
又∴∀x＞0，，
∴，又x0∈（0，1），，
∴f（x）恰有三个零点：x0，1，，
∴a＞2时，f（x）的所有零点之积为（定值）．
三．解三角形（共1小题）
7．（2023•惠州一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．
（1）当BD长度变化时，cosA﹣cosC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，请求出+的最大值．
【答案】（1）为定值，定值为1；
（2）14．
【解答】解：（1）法一：在△ABD中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在△BCD中，，
即②，
①﹣②得，
所以当BD长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在△ABD中，由余弦定理BD2＝AD2+AB2﹣2AD⋅ABcosA，
得，即，
同理，在△BCD中，BD2＝CD2+CB2﹣2CD⋅CBcosC＝8﹣8cosC，
所以，
化简得，即，
所以当BD长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
＝12sin2A+4sin2C＝12sin2A+4﹣4cos2C
＝
＝，
令cosA＝t，t∈（﹣1，1），
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
四．直线与平面所成的角（共1小题）
8．（2023•江门一模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，O是AD的中点，点E在PC上，且AP∥平面BOE．
（1）求的值；
（2）若OP⊥平面ABCD，OE⊥PC，AB＝2，∠BAD＝60°，求直线OE与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）连接AC与BO交于点F，
因为底面ABCD是菱形，O是AD的中点，所以AO∥BC，且，
所以．因为AP∥平面BOE，AP⊂平面APC，
平面APC∩平面BOE＝EF，
所以AP∥EF，
所以，所以；
（2）因为底面ABCD是菱形，O是AD的中点，∠BAD＝60°，所以BO⊥AD．
因为OP⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以OP⊥AD，OP⊥BO，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
则．
设P（0，0，h），h＞0，则，
所以．
因为OE⊥PC，所以，解得．
所以．
设为平面PBC的法向量，
则，得，
取，所以为平面PBC的一个法向量．
因为，
所以直线OE与平面PAB所成角的正弦值是．
五．二面角的平面角及求法（共4小题）
9．（2023•惠州一模）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD．
（1）若点M是AD的中点，求证：C1M∥平面AA1B1B；
（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）连接B1A，由已知得，B1C1∥BC∥AD，且
所以四边形AB1C1M是平行四边形，即C1M∥B1A…（2分）
又C1M⊄平面AA1B1B，B1A⊂平面AA1B1B，
所以C1M∥平面AA1B1B…（4分）
解：（2）取BC中点Q，连接AQ，因为ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，
所以△ABC是正三角形，所以AQ⊥BC，即AQ⊥AD，
由于AA1⊥平面ABCD…（6分）
所以，分别以AQ，AD，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图A（0，0，0），A1（0，0，1），D1（0，1，1），
假设点E存在，设点E的坐标为，﹣1≤λ≤1，
，…（7分）
设平面AD1E的法向量
则，即，可取…（9分）
平面ADD1的法向量为…（10分）
所以，，解得：…（11分）
又由于二面角E﹣AD1﹣D大小为锐角，由图可知，点E在线段QC上，
所以，即…（12分）
10．（2023•广东一模）如图所示的在多面体中，AB＝AD，EB＝EC，平面ABD⊥平面BCD，平面BCE⊥平面BCD，点F，G分别是CD，BD中点．
（1）证明：平面AFG∥平面BCE；
（2）若，求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：如图，取BC中点H，连接EH，因为EB＝EC，所以EH⊥BC，
又因为平面BCE⊥平面BCD，平面BCE∩平面BCD＝BC，EH⊂平面BCE，
所以EH⊥平面BCD，
同理可得AG⊥平面BCD，
所以EH∥AG，
又因为AG⊄平面BCE，EH⊂平面BCE，所以AG∥平面BCE，
因为点F，G分别是CD，BD中点，所以FG∥BC，
又因为FG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以FG∥平面BCE，
又因为AG∩FG＝G，AG，FG⊂平面AFG，所以平面AFG∥平面BCE．
（2）因为BC⊥BD，BC∥FG，所以FG⊥BD，
由（1）知AG⊥BD，AG⊥平面BCD，GF⊂平面BCD，
所以AG⊥GF，
所以GF，GB，GA两两相互垂直，
如图，以点G为坐标原点，GF，GB，GA分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为，所以GA＝GB＝1，EH＝2，BH＝1，
则A（0，0，1），C（2，1，0），E（1，1，2），
平面AFG的一个法向量为，
设平面ACE的法向量为，
由，
得，即，解得，
取x＝2，得，
设平面AFG和平面ACE的夹角为θ，
则，
所以平面AFG和平面ACE的夹角的余弦值为．
11．（2023•湛江一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且，PB⊥BC，∠ADC＝45°．
（1）证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；
（2）求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：如图，过点B在平面ABCD内作BO垂直于AD，
且BO交DA的延长线于点O，连接OP，
∵PB⊥BC，AD∥BC，
∴PB⊥DO，又BO⊥DO，PB，BO⊂平面POB，且BO∩PB＝B，
∴DO⊥平面POB，又PO⊂平面POB，
∴DO⊥PO，即AO⊥PO，
∵∠ADC＝45°，AB∥DC，
∴∠OAB＝45°，又OA⊥OB，
∴∠OBA＝45°＝∠OAB，∴OA＝OB，
∵△PAB为等边三角形，∴PA＝PB，又PO＝PO，
∴△POA≌△POB，又PO⊥OA，
∴PO⊥OB，又OA，OB⊂平面ABCD，且OA∩OB＝O，
∴PO⊥平面ABCD，
∴点O为点P在平面ABCD的正投影，又点O在直线AD上，
∴点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；
（2）由（1）得PO，OB，OA两两垂直，
∴分别以OB，OA，OP所在直线为x，y，z轴，建系如图，
由题意可得，又，
∴，，，，
∴，，，
设平面PBC的法向量为，
则，取，
设平面PDC的法向量为，
则，取，
∴，
∴平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为．
12．（2023•广州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值．
【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．
【解答】（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OB，
因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以OP⊥AD，
在直角梯形ABCD中，因为AD＝2BC＝2OD，BC∥AD，
所以四边形BCDO为平行四边形，
又CD⊥AD，所以OB⊥AD，
因为OP∩OB＝O，OP、OB⊂平面POB，
所以AD⊥平面POB，
因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB．
（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（4，0，0），B（2，2，0），
由（1）知，AD⊥平面POB，
因为AD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面POB，
又OP＝OB＝2，PB＝2，所以∠POB＝120°，
所以P（2，﹣1，），
所以＝（﹣2，﹣1，），＝（﹣2，2，0），
设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝1，z＝，所以＝（1，1，），
易知，平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），
设平面PAB与平面ABCD的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝，
所以sinθ＝＝，
故平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值为．
六．直线与椭圆的综合（共2小题）
13．（2023•湛江一模）已知F1，F2分别为椭圆E：的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A，B两点，△F1AB的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过F1且与l垂直的直线l'与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意，椭圆E的离心率为，可得，
又由椭圆的定义，可知|AB|+|AF1|+|AF2|＝4a＝8，所以a＝2，所以c＝1，
又因为a2＝b2+c2，所以b2＝3，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）设A（x1，y1）B（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，
由，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
则有，，
故|AB|＝•＝＝12×，
又由直线l'的方程为，设C（x3，y3），D（x4，y4），
联立方程组，整理得，
则有，，
则，
所以四边形ABCD的面积：＝＝，
因为，
当且仅当m2＝1时，等号成立，
所以，
综上，四边形ACBD面积的最小值为．
14．（2023•广州一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线y＝ax+6相切．
（1）求C的方程；
（2）直线l：y＝k（x﹣1）（k≥0）与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为k'（O为坐标原点），△APQ的面积为S1.△BPQ的面积为S2，若|AP|⋅S2＝|BP|⋅S1，判断k⋅k'是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）+＝1；
（2）k⋅k'为定值，且k⋅k'＝．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得＝，即有a2＝2b2，
由以C的短轴为直径的圆与直线y＝ax+6相切得：＝b，联立解得a2＝8，b2＝4，
∴C的方程为+＝1；
（2）k⋅k'为定值，且k⋅k'＝，
∵|AP|⋅S2＝|BP|⋅S1，则＝＝＝，
因此sin∠APQ＝sin∠BPQ，而∠APQ+∠BPQ＝∠ABP∈（0，π），有∠APQ＝∠BPQ，
于是可得PQ平分∠APB，∴直线AP，BP的斜率互为相反数，即kAP+kBP＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
由，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0．
∴x1+x2＝，x1x2＝，
而kAP+kBP＝+＝0，∴（y1﹣y0）（x2﹣x0）+（y2﹣y0）（x1﹣x0）＝0，
即[k（x1﹣1）﹣y0]（x2﹣x0）+[k（x2﹣1）﹣y0]（x1﹣x0）＝2kx1x2﹣（y0+kx0+k）（x1+x2）+2x0（y0+k）＝0，
∴2k×﹣（y0+kx0+k）×+2x0（y0+k）＝0，
∴2k（2k2﹣8）﹣4k2（y0+kx0+k）+2x0（y0+k）（1+2k2）＝0．
化简得2y0（x0﹣1）k2+（x0﹣8）k+x0y0＝0．
又∵P（x0，y0）在椭圆上，∴+＝1，∴+2＝8，
∴2y0（x0﹣1）k2+（﹣2﹣+x0）k+x0y0＝0，
∴（2y0k﹣x0）[（x0﹣1）k﹣y0]＝0，
又∵P（x0，y0）不在直线l：y＝k（x﹣1），则有2y0k﹣x0＝0，
即k×＝k⋅k'＝，
∴k⋅k'为定值，且k⋅k'＝．
七．直线与双曲线的综合（共1小题）
15．（2023•惠州一模）已知双曲线的焦距为，且双曲线C右支上一动点P（x0，y0）到两条渐近线l1，l2的距离之积为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设直线l是曲线C在点P（x0，y0）处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M，N两点，O为坐标原点，求△MON的面积．
【答案】（1）；
（2）2．
【解答】解：（1）双曲线C的渐近线方程为bx+ay＝0和bx﹣ay＝0，
所以有，
由题意可得，
又，则c2＝a2+b2＝5，解得a＝2，b＝1，则双曲线的方程为；
（2）当直线斜率不存在时，易知此时P（2，0），直线l：x＝2，
不妨设M（2，1），N（2，﹣1），得S△MON＝2；
当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，
与双曲线的方程x2﹣4y2＝4联立，可得（4k2﹣1）x2+8kmx+4m2+4＝0，
由直线与双曲线的右支相切，可得Δ＝（8km）2﹣4（4k2﹣1）（4m2+4）＝0，故4k2＝m2+1，
设直线l与x轴交于D，则．
又双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，
同理可得，
＝．
综上，△MON面积为2．
八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
16．（2023•广东一模）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
【答案】（1）X的分布列为：
X
0
1
2
P
数学期望：
（2）Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
数学期望：
（3）答案见解析．
【解答】解：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
则，
，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
所以X的数学期望为；
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
所以Y的数学期望为．
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，
即，第（1）不中奖的概率比第（2）问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽．
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖．
九．概率的应用（共1小题）
17．（2023•惠州一模）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn．
（ⅰ）证明：为等比数列；
（ⅱ）证明：当n≥2时，Pn≤．
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解析；
（ii）证明见解析．
【解答】（1）解：设A1＝“第1天选择米饭套餐”，A2＝“第2天选择米饭套餐”，
则＝“第1天不选择米饭套餐”，
由题意可得，，，，，
由全概率公式可得，；
（2）证明：（i）设An＝“第n天选择米饭套餐”，
则Pn＝P（An），则，
由题意，，，
由全概率公式可得，，
因此，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）可得，
当n为大于1的奇数时，；
当n为正偶数时，．
综上所述，当n≥2时，．
一十．线性回归方程（共1小题）
18．（2023•江门一模）某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图．
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
z＝lny
﹣0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
（1）该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y＝bx+a和②y＝edx+c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）
（2）根据下表中数据，用相关指数R2（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
经验回归方程
残差平方和
y＝bx+a
y＝edx+c
18.29
0.65
参考公式及数据：＝＝，，R2＝1﹣＝，，e3.4＝30．
【答案】（1）y＝2.1x﹣3.4，y＝e0.6x﹣1.4；
（2）30（千件）．
【解答】解：（1）由题可得，，，，
所以，，
方案①回归方程y＝2.1x﹣3.4，
对y＝edx+c两边取对数得：lny＝dx+c，令z＝lny，z＝dx+c是一元线性回归方程，，，，
方案②回归方程y＝e0.6x﹣1.4；
（2）方案①相关指数，
方案②相关指数，，
故模型②的拟合效果更好，精度更高，
当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量y＝e4.8﹣1.4＝e3.4＝30（千件）．
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