湖南省益阳市桃江县2022-2023学年高二下学期期末数学试题

2022—2023学年度第二学期期末考试

高二数学试题卷

（时量：120分钟，满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集，集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.复数对应的点位于直线上，则的值为（    ）

A.4 B. C.2 D.

3.设，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分又不必要条件

4.下列说法正确的是（    ）

A.数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的80百分位数为7

B.样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强

C.随机变量，则方差

D.随机变量，则当变化时，为定值

5.已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.与的夹角为  D.

6.气候变暖、干旱给蝗灾的发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用函数来拟合（其中，为常数），设，得到一组数据如下表：

由上表可得线性回归方程：，则（    ）

A. B. C.3 D.

7.若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8.已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在三棱锥中，已知平面，，根据下列各组中测得的数据，能计算出长度的是（    ）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.当时，取到最大值

11.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有论述.在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是“肩上”两个数之和，例如第4行的6为第3行中的两个3的和.下列命题中正确的是（    ）

A.

B.第2022行中，第1011个数最大

C.记“杨辉三角”第行第个数为，则

D.第34行中，第15个数与第16个数的比为

12.已知抛物线：的焦点为，动直线与曲线交于，两点，下列说法正确的是（    ）

A.抛物线的准线方程为

B.若点为，则周长的最小值为11

C.若点为，则的最小值为

D.设为坐标原点，作于点，则点到的准线的距离的最大值为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知，则________.

14.将3名男同学和2名女同学全部分配到，，，4个岗位参加志愿者工作，每个岗位至少有一人参加工作，则男同学甲与女同学乙不去同一个岗位的分配方法数为________.（用数字作答）

15.设等比数列满足，，则的最大值为________.

16.8支手枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的手枪射击时，中靶的概率是0.8，用未校准的手枪射击的，中靶的概率是0.3，该射手从这8支手枪中任选一支进行射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________.（结果用分数表示）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.

（1）求的值；

（2）若的面积，求的值.

18.（12分）

设数列的前项和为，已知，，.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）令，求数列的前项和.

19.（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，直线与平面所成的角为.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

20.（12分）

甲、乙两人进行猜灯谜游戏，每次猜同一个灯谜，若一人猜对另一人猜错，则猜对的人得1分，猜错的人得分，若两人都猜对或都猜错，则为平局，两人均记0分，已知游戏中，每次甲猜对的概率都为，每次乙猜对的概率都为，且甲、乙猜对与否互不影响，每次猜灯谜的结果也互不影响.

（1）求在1次游戏中，甲的得分的分布列和期望；

（2）求在3次游戏中至少有一局为乙赢的条件下甲得分之和为正的概率.

21.（12分）

已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2.

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点的直线与双曲线交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及这个常数；若不存在，请说明理由.

22.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）函数有两个不同的极值点，证明：.

2022—2023学年度第二学期期末考试

高二数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C    2、B    3、A    4、D    5、D    6、B    7、C    8、A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9、ABD    10、ACD    11、ACD    12、BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、 14、216 15、64 16、

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.【解】（1）因为，由正弦定理得.

因为，所以，，………………………………5分

（2）

由余弦定理得，所以

化简得：，，所以…………………………………………10分

18.【解】（1）证明：由，.①

得②

①-②得，

即

所以

所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列……………………………………6分

（2）【方法一】分组求和由（1）可知，所以

数列的前项和为

设数列的前项和为

两式相减得

，所以

所以……………………………………12分

【方法二】直接用错位相减法

【方法三】裂项相消法

所以

19.【解】（1）证明：作于点，于点

则，，所以

，利用余弦定理可求得

所以，所以，且底面

所以，，所以平面

所以……………………………………………………6分

（2）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图坐标系

因为平面，所以与平面所成的角就是

所以，为等腰直角三角形，所以……………………8分

，，，，

设平面的法向量，则

解得，平面的法向量…………………………10分

即：二面角的余弦值为…………………………12分

20.【解】（1）易知，可能的取值为1，0，

，

…………………………………………………………3分

的分面列如下表：

………………………………………………………………6分

（2）设事件：至少有一局为乙赢，事件：甲的得分之和为正

某一局为乙赢的概率，则……………………8分

甲的得分之和要为正，包括以下几种情况：

①甲三局都赢；②甲赢两局平一局；③甲赢两局输一局；④甲赢一局平两局

要使事件，同时发生，就是情况③，所以………………10分

所以………………………………………………12分

21.【解】（1）渐近线的斜率为2，所以，一条渐近线方程可写成

焦点到渐近线的距离，所以

所以双曲线的方程为………………………………………………3分

（2）设，，直线的方程为

联立方程得

，………………………………………………6分

设点为，则

，，代入上式得：

…………………………………………………………10分

要使上式为定值，应满足，即，此常数为

综上：存在定点，使得为常数.…………………………………………12分

22.【解】（1）

（i）当时，，则在为增函数

（ii）当时，令得

当时，当时，

所以在为减函数，在为增函数

综上：当时，在为增函数

当时，在为减函数，在为增函数………………………………4分

（2），

则，

要证，只要证，即证…………………………6分

，所以

所以只要证，只要证……………………8分

设，则只要证，所以只要证

设，则，

所以为减函数，所以，所以为增函数

所以，所以成立，所以原式得证.……………………12分

【注】对不等式的证明也可设函数来证明