上海市闵行区2022-2023学年高一下学期期末数学试题(无答案)

闵行区2022学年第二学期高一年级

数学期末区统考

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.函数的最小正周期是____________.

2.若复数，则____________.

3.已知角的终边经过点，则的值是____________.

4.已知，，则角____________.

5.若函数的最大值为，则____________.

6.已知，则的值为____________.

7.已知向量的夹角为，，则在方向上的数量投影为____________.

8.已知是实系数一元二次方程的一个根，则____________.

9.已知，，与平行，则实数的值为____________.

10.在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称.若，则____________.

11.已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是____________.

12.已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为____________.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.复数的虚部为（   ）

A.1 B.-1 C.i D.-i

14.下列命题中正确的是（   ）

A.  B.

C.若，则  D.若，则

15.某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子：

①

②；

③；

若存在恰巧能使上述某些式子成立，则能成立的式子最多有（   ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

16.在复平面上，设点A、B对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ）

A. B. C. D.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在矩形ABCD中，，，点M、N分别是边BC、CD的中点，设向量，

（1）试用表示向量与；

（2）求的值.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数满足，.

（1）求，；

（2）若复数是纯虚数，求的值.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60米，，动点在扇形AOB的弧上，点Q在半径OB上，且.

（1）当米时，求分隔栏PQ的长；

（2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角OPQ的面积的最大值.

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函的解析式.

（1），，.

（2），是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称.

（3），，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：

①； ②；

③；  ④.

（1）设，，求和.

（2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：

① ② ③.

试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.

（3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.

根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.