精品解析：四川省凉山州安宁河联盟2022-2023学年高二下学期期末联考文科数学试题（解析版）

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安宁河联盟2022~2023学年度下期高中2021级期末联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念计算即可.【详解】由交集的定义可得.故选：C2. 命题，，则命题p的否定为（    ）A ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行改写.【详解】由于全称命题的否定是特称命题，于是为：，.故选：C3. 水果收购商为了了解某种水果的品质，想用分层抽样的方法从500个大果，300个中果，200个小果中抽取一部分送去质检部门检验，若抽取的小果为30个，则他抽取的大果为（    ）个.A. 150 B. 75 C. 45 D. 15【答案】B【解析】【分析】由分层抽样（等比例抽样），列出等式，即可解出答案.【详解】设抽取的大果为个，则，解得：故选：B4. 已知函数，则的值是（    ）A.  B. 0 C. 1 D. e【答案】C【解析】【分析】由分段函数的概念计算即可.【详解】由条件可得.故选：C5. 已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（    ）A. 2 B. 3 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义得解.【详解】由题得抛物线的准线方程为，所以点P到准线的距离为，由抛物线的定义得3.故选：B  6. 若实数，满足不等式组，则的最大值为（    ）A.  B.  C. 0 D. 3【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据的几何意义，利用数形结合即可得到最大值.【详解】不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：  由可得，平移直线，则由图像可知：当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时的最大值为：3故选：D7. 若如图所示的程序框图输出的S是43，则条件①可以为（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】按程序框图计算验证即可.【详解】由框图可知将输入得，输入得，输入得，此时终止循环，输出结果，故条件①可以为.故选：B8. 已知函数，直线与平行，则k的值为（    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义结合直线平行的充要条件计算即可.【详解】由，又两直线平行，∴，此时符合两直线平行.故选：C9. 已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（    ）A. 2 B.  C.  D. 3【答案】D【解析】【分析】求出圆心和半径，由几何关系得到当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，由垂径定理列出方程，求出答案.【详解】整理得，故圆心为，半径为，当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，  其中，由垂径定理得，即，解得，故选：D10. 已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（    ）A. 8 B. 12 C. 16 D. 64【答案】A【解析】【分析】根据题干数据先分析出为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算.【详解】  由题意得，，于是，即为△的外心，以为直径的圆经过，于是，记，根据椭圆定义和勾股定理：，于是.故选：A11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可【详解】  如图所示，设双曲线实轴长为，则，所以，又M在第一象限，即，故，因为，过M作MD⊥轴于D，，由条件故，即，故，解之得（负值舍去）.故选：A12. 若在上恒成立，则实数a的取值范围是为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】将不等式变形为，易知函数在上单调递增，即原不等式可等价于，在任意上恒成立，再利用导函数求出在上的最小值即可.【详解】因为，所以，记，则恒成立，即在上单调递增，即原不等式等价于，在任意上恒成立，所以等价于，在任意上恒成立，记，，则，令，解得，当时，，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，故选：B【点睛】易错点点睛：本题在化简不等式时，一定注意到在区间上有意义，必有.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数z满足，则z的模长为______．【答案】【解析】【分析】利用复数的模长公式计算即可.【详解】由复数模长公式可得.故答案为：14. 已知函数是R上的奇函数，则点到直线的距离为______．【答案】1【解析】【分析】根据函数为奇函数求出值，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由题得，所以对任意的实数都成立，所以.所以点.所以点到直线的距离为.故答案为：115. 2022年12月26日凉山进入动车时代，由于客流高峰小李只买到站票，从西昌出发的动车除车头外有8节车厢，小李随机上了其中一节车厢，并在车厢内任意位置原地等候.据数据中心信息第6节车厢最中间，有一位乘客下一站下车且该座位无人购买（不考虑该座位被人抢占），求小李行走不超过1.5节车厢能坐到该座位的概率______．【答案】##【解析】【分析】利用几何概型计算即可.【详解】  如图所示，A处有空座，则自4和7之间任何位置到A处行走不超过1.5节，由几何概型得小李行走不超过1.5节车厢能坐到该座位的概率.故答案为：16. 正三棱锥各顶点在同一个球面中，侧棱长为4，侧棱与底面所成角为，则该球的体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意易知三棱锥的高为，底面外接圆半径为，则三棱锥的外接球半径为，由此即可求出外接球的体积.【详解】设正三棱锥的高为，底面外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，如图所示, 由题意知：，则，，在中，，解得：，所以该球的体积为.故答案为：三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数在时取得极值．（1）求在处的切线方程；（2）求在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）；    （2）最大值为1，,最小值为.【解析】【分析】（1）根据极值求出，再检验，再利用导数的几何意义求解；（2）比较即得解.【小问1详解】由题得，所以.当时，，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.此时函数在时取得极值，所以.所以，又，所以切点为(0,1)，切线斜率为1.所以在处的切线方程.所以在处的切线方程为.【小问2详解】由（1）得，因为，，，.所以在区间上的最大值为1，最小值为.18. 石榴在我国传统文化意识中是一种吉祥、吉利的意思，寓意多子多福，红红火火，团团圆圆.石榴有止血、止咳的功效，具有健脾提神、增强食欲的作用.石榴的使用方式也多种多样，其中石榴冰酒就受人们的喜爱和追捧.现有关部门对甲和乙两厂家生产的石榴冰酒进行随机检测各100件，两产家生产的石榴冰酒根据检测结果分为，三个测等级，其中为合格品，为次品，统计结果如下： 等级数量5011040 （1）从中随机抽取一件产品，为合格品的概率是多少？（2）为了解人们对两种品质的石榴冰酒的喜爱情况，现在当地对160名群众（其中女性：80人，男性：80人）进行问卷调查（每名群众在两种品质的酒中必须选择一种且只能选择一种），下表是根据调查结果得到的2×2列联表.请将列联表补充完整，并判断是否在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为选择酒的种类与性别有关？               种类性别合计男性 45 女性15  合计   附：参考公式及数据：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828 【答案】（1）    （2）列联表见解析，能在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为选择酒的种类与性别有关.【解析】【分析】（1）由古典概型的概率公式计算即可得出答案；（2）根据题意完成列联表，即可计算出，再与比较即可得出结论.【小问1详解】从中随机抽取一件产品，为合格品的的概率为：；小问2详解】由题意2×2列联表为：               种类性别合计男性354580女性156580合计50110160所以，因为，所以能在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为选择酒的种类与性别有关.19. 如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，，E为PD的中点．  （1）求证：平面ACE；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；    （2）1.【解析】【分析】（1）连接交于点, 证明，原题即得证；（2）连接，先证明平面，再利用求解.【小问1详解】如图所示，连接交于点 因为，所以.又平面，平面,所以平面ACE.  【小问2详解】如图所示，连接，因为，所以.因为，所以.又平面所以平面.因为,所以.所以.因为,所以.所以.所以三棱锥的体积为1.  20. 已知椭圆，（，），过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．【答案】（1）    （2）直线的斜率为定值【解析】【分析】（1）由题意知，结合点在椭圆上，即可列出方程组解出答案；（2）由题意设直线的斜率为，则直线的斜率为，写出直线的方程，分别联立直线，直线与椭圆即可用表示出的坐标，即可求出直线的斜率.【小问1详解】由题意知，点在椭圆上，即，解得：，所以椭圆的方程为：；【小问2详解】由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，因为平分，所以直线的斜率为，则直线为：，直线为：，联立直线与椭圆:消得：解得：，，同理可得：，，所以所以，即直线的斜率为定值.  【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于设出直线的斜率，再利用表示出点，点的坐标，最后利用的坐标求出直线的斜率.21. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；    （2）【解析】【分析】（1）含参讨论导函数的正负即可；（2）结合（1）的结论得，则有得出，构造函数判断其最值即可.【小问1详解】由，若，则恒成立，即在上单调递增，若，令得，即在上单调递增，令得，即在上单调递增，综上所述当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递增；【小问2详解】由（1）得当时，在上单调递增，当趋近于时，趋近于，不符合题意，故，则，所以，令，显然当时，，时，，故在时单调递减，在上单调递增，即，所以，即22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程，的直角坐标方程；（2）已知为曲线的圆心，点M为曲线上一动点，求的最大值．【答案】（1）曲线的普通方程，的直角坐标方程    （2）【解析】【分析】（1）利用，消元即可得出曲线的普通方程，将 带入曲线的极坐标方程，即可得出的直角坐标方程；（2）设点，由题意可用表示出，根据的取值范围，即可求出的最大值.【小问1详解】因为，所以，两式平方相加得：;因为，即，即，化简得：；所以曲线的普通方程，的直角坐标方程.【小问2详解】由题意知，点在椭圆上，则，即，且所以，所以当时，，所以的最大值为.