精品解析：江苏省淮安市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

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淮安市2022~2023学年度第二学期高二年级期末调研测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出集合，再根据集合的包含关系计算可得.【详解】由，则，解得，所以，又且，所以，即实数的取值范围是.故选：A2. 已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标关系即得.【详解】由题可得，所以可设，所以，所以.故选：C.3. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式，先算出所选3人中没有1名女生的情况的概率，继而得出所选3人中至少有1名女生的概率.【详解】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛共有种，所选3人中没有1名女生的情况有，所以所选3人中至少有1名女生的概率是.故选：D．4. 若，，称是，的几何平均数，是，的调和平均数，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由结合充分条件必要条件的定义即得.【详解】因为，当且仅当时取等号，所以由可推出，而由推不出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率是（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分别计算所有“重卦”和恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果.【详解】所有“重卦”共有种；恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的“重卦”种数有种，恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率为.故选：B.6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以点到直线的距离是.故选：D.7. 某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（    ）种报名方式A. 49 B. 64 C. 66 D. 73【答案】C【解析】【分析】根据两个计数原理结合组合知识即得.【详解】由题可知，若每人报集体赛1项，则报名方式有种，若每人报集体赛2项，则报名方式有种，所以每人共有报名方式种.故选：C.8. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用全概率公式结合条件可得，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得.【详解】因为，，，所以，，又，所以，所以，故A错误；由，可得，故B错误；所以，故C正确；所以，，故D错误.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若，则下列不等式中正确的有（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】根据不等式的性质判断A、B，利用作差法判断C、D.【详解】对于A：因为，所以，则，故A正确；对于B：因为，所以，所以，故B错误；对于C：因为，又，所以，，所以，即，故C错误；对于D：，因为，所以，，，所以，则，故D正确；故选：AD10. 如图是某小卖部5天卖出热茶的杯数（单位：杯）与当天气温（单位：℃）的散点图，若去掉后，下列说法正确的有（    ）  A. 决定系数变大 B. 变量与的相关性变弱C. 相关系数的绝对值变大 D. 当气温为11℃时，卖出热茶的杯数估计为35杯【答案】AC【解析】【分析】由散点图可知，去掉后，变量与的相关性变强可判断ABC；求出线性回归方程后可判断D.【详解】由散点图可知，去掉后，变量与的相关性变强，故B错误；因为是负相关，所以相关系数的绝对值变大，故C正确；决定系数变大，故A正确；去掉后，，，，，所以，，所以关于的线性回归方程为，当气温为11℃时，，卖出热茶的杯数估计为36杯，故D错误.故选：AC.11. 有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（    ）A. 5名同学每两人握手1次，共握手20次B. 5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张C. 5名同学围成一圈做游戏，有120种排法D. 5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法【答案】BD【解析】【分析】利用组合的概念可判断A，根据排列知识可判断BC，利用捆绑法及间接法可判断D.【详解】A选项，5名同学每两人握手1次，共握手次，故A错误；B选项，5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片张，故B正确；C选项，5名同学围成一圈做游戏，确定4个人之后，最后一个人的位置也就确定了，所以有种排法，故C错误；D选项，5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，共有种排法，其中丙站正中间的排法有种，所以甲、乙相邻，且丙不站正中间的排法有种，故D正确.故选：BD.12. 在正四棱锥中，，，点满足，其中，，则下列结论正确的有（    ）A. 的最小值是B. 当时，三棱锥的体积为定值C. 当时，与所成角可能为D. 当时，与平面所成角正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据向量关系可得为正方形内的点(包括边界)，设，根据正棱锥的性质结合条件可得判断A，根据棱锥的体积公式结合条件可判断B，根据线面角的求法结合条件可判断C，利用坐标法表示出线面角，然后利用导数求最值可判断D.【详解】由，可得，其中，，所以为正方形内的点(包括边界)，在正四棱锥中，，，设，连接，则平面，，对A，由题可知，当重合时取等号，故A正确；对B，当时，，即，故在线段上，因为，所以三角形的面积为定值，而三棱锥的高为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；对C，当时，，故在线段上，由题可知平面，故平面，所以为在平面内的射影，，而在中，，所以，，故与所成角不可能为，故C错误；对D，当时，，故在线段上，如图以为原点建立空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成角为，所以，设，，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量关系结合条件得到点的位置，然后结合条件利用立体几何知识解决即得.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 随机变量，，则______．【答案】##0.75【解析】【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可．【详解】因为随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，又因为，所以，，所以.故答案为：.14. 在三棱柱中，点在线段上，且，若以为基底表示，则______．【答案】【解析】【分析】利用向量的线性关系结合图形运算即得.【详解】在三棱柱中，点在线段上，且，所以，，  所以.故答案为：.15. 已知，且，则的展开式中项的系数是______．（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】利用二项式定理得到的展开式中的系数为，进而得到答案.【详解】因为的展开式中的系数为，故的展开式中的系数.故答案为：120.16. 已知随机变量的概率分布列如下表所示，当时，______．012 【答案】【解析】【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出，，即可求出，再根据方差的性质得到．【详解】依题意，解得，012，，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知的展开式中仅有第4项的二项式系数最大．（1）求展开式的第2项；（2）求展开式的奇数项系数之和．【答案】（1）；    （2）365.【解析】【分析】（1）根据二项式系数的性质可得,然后根据二项式的通项公式即得；（2）设，然后利用赋值法即得.【小问1详解】因为的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项式系数的性质：左右对称且先增后减，所以展开式共有7项，则,所以展开式的第2项为；【小问2详解】设，令得：①令，得：②由①②得，所以展开式的奇数项系数之和为365．18. 某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据：年份20182019202020212022年份代码12345平均收入（千元）5961646873 （1）根据表中数据，现有与两种模型可以拟合与之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）（2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入．参考数据及公式：，，其中．，．【答案】（1），；    （2）回归方程拟合效果更好，预测2023年该农户种植药材的平均收入为8万元．【解析】分析】（1）根据最小二乘法结合条件可得回归方程；（2）根据回归方程分别计算残差平方和，进而可得拟合效果更好，然后根据回归方程结合条件即得.小问1详解】根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：，，所以，，则，．设，则，所以，则，．所以，两种模型回归方程分别为，．【小问2详解】回归方程为时，将值代入可得估计值分别为58，61.5，65，68.5，72，则残差平方和为．回归方程为时，将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，则残差平方和为．因为，所以回归方程拟合效果更好，应选择该方程进行拟合．当时，，故预测2023年该农户种植药材的平均收入为80千元，即8万元．19. 淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的列联表： 有购买意愿没有购买意愿合计男 40 女60  合计 50   （1）完成上述列联表，根据以上数据，判断是否有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？（2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的概率分布及数学期望．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828 【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关；    （2）分布列见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）由题可得列联表，进而可得并结合条件即得；（2）先求出一次游戏中取出2个红球的概率，然后利用二项分布概率公式可得概率，进而可得分布列及期望.【小问1详解】由题可得列联表如下： 有购买意愿没有购买意愿合计男9040130女601070合计15050200提出假设：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得，因为当成立时，的概率大于1%，所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关．【小问2详解】一次游戏中取出2个红球的概率，由题可知，1，2，3，则，所以，，，，所以随机变量的概率分布为0123所以．20. 如图，正方体的棱长为1，点是对角线上异于，的点，记．  （1）当为锐角时，求实数的取值范围；（2）当二面角的大小为时，求点到平面的距离．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用坐标法，表示出向量，然后结合条件列出不等式，进而即得；（2）利用面面角的向量求法可得，然后利用点到平面的距离的向量求法即得.【小问1详解】以为单位正交基底，建立空间直角坐标系．则，，，．因为，．则．则，．  由为锐角，则且．则．又，所以；【小问2详解】设平面的法向量，则且，又，，所以，．令，则，．故平面的一个法向量．易知平面的一个法向量．因为二面角为，则，所以，解得．因为，则．则平面的一个法向量，又向量，所以点到平面的距离．21. 已知函数，．（1）当时，求的解集；（2）若最大值为3，求的值．【答案】（1）详见解析；    （2）【解析】【分析】（1）根据二次不等式的解法，分类讨论即得；（2）当时利用基本不等式可得函数的最大值，进而可得然后结合条件即得，当时根据二次函数的性质分类讨论可得函数的最值，然后结合条件检验即得.【小问1详解】当时，，即．当时，；当时，不等式无解；当时，若，，若，；所以，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【小问2详解】①当时，，又，则，当且仅当取等号，所以，即，若时，当时，．此时，所以不满足题意，舍去．②当时，对称轴为，当时，，．当时，在时增函数，，即（舍去）．若．当时，，满足题意．综上，时，的最大值为3．22. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”等．现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分，其余情况不得分．已知甲投入壶口的概率为，投入壶耳的概率为；乙投入壶口的概率为，投入壶耳的概率为．假设甲乙两人每次投壶是否投中相互独立．（1）求甲投壶3次得分为3分的概率；（2）求乙投壶多少次，得分为8分的概率最大．【答案】（1）    （2）乙投壶6次时，得分为8分的概率最大．【解析】【分析】（1）根据互斥事件求和公式及独立事件的乘法公式即得；（2）设乙投壶次时得分为8分的概率为，根据独立事件概率公式可得，然后根据条件可得不等式组，进而即得；或结合条件可得的值，分别计算概率比较即得.【小问1详解】因为甲投入壶口概率为，投入壶耳概率为，所以甲未投中的概率为，设事件为甲投壶3次得分为3分，则；【小问2详解】设乙投壶次时得分为8分的概率为，设投壶次中投入壶口次，投入壶耳次，则，所以，则，所以，即，整理得，结合可得，所以乙投壶6次时，得分为8分的概率最大．法二：设乙投壶次时得分为8分的概率为，设投壶次中投入壶口次，投入壶耳次，则，所以，由可得且，所以，5，6，7，8．因为，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以当时，取得最大值，即乙投壶6次时，得分为8分的概率最大．