重庆市第一中学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题

2023年重庆一中高2024届高二下期期末考试

数学测试试题卷

注意事项：

1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ，  B. ，

C. ，  D. ，

3. 若，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 函数的图像大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 若对于任意非零实数x都有，则（    ）

A. 0 B. 4 C. 1 D.

6. 已知，，，则a，b，c的大小关系（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（    ）

A. 72 B. 78 C. 126 D. 240

8. 已知函数满足对任意x恒成立，且时，则的值为（    ）

A. －2 B. －1 C. 1 D. 2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为9

B. 若随机变量，，则

C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱

D. 已知随机变量X服从二项分布，若，，则

10. 甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用，，分别表示甲袋取出的球是白球，红球，黑球，用B表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的（    ）

A. ，，两两互斥 B.

C.   D. 与B是相互独立事件

11. 已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立，则（    ）

A. 在上单调递增 B. 的图象与x轴有2个交点

C.   D. 不等式的解集为

12. 已知函数有三个不同的零点，，（其中），则（    ）

A. a的值可以为－4  B.

C.   D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 展开式中的常数项为______.

14. 已知m，n是正实数，函数的图像经过点，则的最小值为______.

15. 设，，满足，则______.

16. 已知定义在上的连续函数满足：

①在上单调  ②

③对恒成立 ④对恒成立

若，，，，记与形成的封闭图形的面积为，，则满足的最小的n的值为______.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知是定义在上的奇函数，且.

（1）求实数a，b的值；

（2）若，求实数m的取值范围.

18.（12分）

已知等差数列是递增数列，记为数列的前n项和，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前n项和为，求证.

19.（12分）

我国自2016年实行全面二孩政策后，出生人口迎来了一个小高峰，但随后几年出生人口逐年下降，2022年的出生人口数首次低于1000万，低出生率与老龄化逐渐成为社会性问题.近几年我国人口出生数据如下表：

（1）对以上数据进行回归分析可知，y与x线性相关性强，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）

（2）用所求线性回归方程预测从哪一年起，我国出生人口低于600万．并回答用该线性回归方程作为分析我国出生人口的数学模型是否合理，并说明理由．

附：对于一组组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

参考数据：，，.

20.（12分）

甲乙两所友好学校举行篮球联谊赛，先获得3场比赛胜利的学校获得冠军并终止比赛，比赛交替在甲校与乙校进行，第一场比赛在甲校进行.已知甲队在主场（甲校）获胜的概率为，在客场（乙校）获胜的概率为，每场比赛要分出胜负且胜负概率不变.

（1）求甲队以3胜1负的成绩赢得冠军的概率；

（2）设篮球联谊赛比赛进行的场数为X，求随机变量X的分布列与期望.

21.（12分）

已知椭圆C：的离心率为，在椭圆上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）椭圆左顶点为A，过点且不平行于x轴的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ与直线的交点分别为M，N，试判断点B与以MN为直径的圆的位置关系，并说明理由.

22.（12分）

（1）证明：当时，；

（2）是否存在正数a，使得在上单调递增，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

2023年重庆一中高2024届高二下期期末考试

数学测试试题卷（答案）

一、单选：

1-4：DDAA   5-8：BCBA

二、多选：

9. BD   10. AB   11. BC   12. BCD

三、填空题：

13. 135   14.     15.    16. 9

四、解答题

17.（1）由题意：，得.

经检验：，故，.

（2）由，在上是增函数.

则，故.

解得.

18.（1）由题意：.

解得或（舍），故.

（2）由，

可得.

19.（1）由题意：，.

故回归直线方程为：.

（2）由，可得，故即使从2025年起，我国出生人口低于600万.用该线性回归方程作为分析我国出生人口的数学模型不合理，此回归曲线只能反映近几年的人口出生变化，若按此推测，2029年出生人口数为负值，显然是不符合实际.

20.（1）设事件A为：“甲队以3胜1负的成绩赢得冠军”，

则.

（2）由题意：X的可能取值为3，4，5.

则，

，

，

故随机变量X的分布列为：

则.

21.（1）由题意：，又，可得，.

则椭圆C的标准方程为.

（2）设直线l的方程为，联立方程，得，

设，，由韦达定理得：，，

直线AP方程：，可得，同理，

则

，可知，则点B在以MN为直径的圆上.

22.（1）设，，

由，且时，，时，，

则，可得（*）；

由（*）可知，当时，得，原不等式得证；

（2），则，

设，则，

在上单调递增在上恒成立，

注意到，只需在处取得最小值，易知其必要条件为，则，

下面证明充分性：

当时：

，则，

故，

①当时，，

所以在上单调递增，即在上单调递增；

②当时，若，

则，

若，，

所以在上单调递减，即在上单调递减.

由①②可知，，

故当时，在上单调递增.

当时，

由（1）知时，

，

当时，，单调递减，不合题意；

当时：

同理可得时，，

当时，，单调递减，不合题意；

综上所述：当时，函数在上单调递增.