第1章 特殊平行四边形 北师大版数学九年级上册综合素质评价(含解析) 试卷

这是一份第1章 特殊平行四边形 北师大版数学九年级上册综合素质评价(含解析)，共17页。
第一章 特殊平行四边形 综合素质评价
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．【2023·梅州丰顺县月考】正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．四条边相等 D．对角线互相平分
2．【2023·深圳期末】如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点．若菱形ABCD的周长为32，则线段EF的长为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．12

3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC 的长为(　　)
A．4 B．4 C．3 D．5
4．【2023·佛山顺德区期中】如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若AB＝2，AC＝3，则矩形AEFC的面积为(　　)
A．3 B．2 C．4 D．6
5．【2023·深圳罗湖外国语学校期中】如图，四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接四边形各边中点得到的图形是(　　)
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．以上都不对

6．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，ED平分∠AEC，则BE的长为(　　)
A．10 B．8 C．6 D．4
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则PM的最小值为(　　)

A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4
8．【母题：教材P25习题T4】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是边CD上一点，连接OE，过点O作OF⊥OE，交AD于点F.若四边形EOFD的面积是1，则AB的长为(　　)
A．1 B． C．2 D．2

9．【2023·深圳翠园教育集团期中】如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为(　　)
A．4 B．2 C．4 D．2
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O.
下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④AB－CF＝HE.
其中正确的有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．【2023·梅州顺丰县期中】若平行四边形ABCD的对角线AC⊥BD，且AB＝5 cm，则BC＝________．
12．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠ABE的度数是________．

13．如图，小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图①所示菱形，测得∠A＝120°，接着将该活动学具调成图②所示正方形，测得正方形的对角线AC＝30 cm，则图①中对角线AC的长为__________cm.

14．如图，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，点P的坐标为________________．

15．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
下列结论：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF.
其中正确的是____________(填序号)．
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)用尺规作图，作出△ABC的角平分线CD(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的基础上，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，判断四边形CEDF的形状，并说明理由．


17．【2022·梅州丰顺月考】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求AB的长．






18．【2023·茂名高州市十校联考】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝4，F为DE的中点，若△CEF的周长为16.
(1)求CF的长；
(2)求OF的长．










四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．【2022·梅州大埔县期中】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B，C分别作BF∥CD，CF∥AB，BF，CF交于点F.
(1)求证：四边形CDBF是菱形．
(2)当AC和BC满足怎样的关系时，四边形CDBF是正方形？并说明理由．










20．【2023·汕头龙湖实验中学期中】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F.
(1)求证：BE＝BF；
(2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．






21．【2022·佛山二模】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC，AD于点E，F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)当AB＝4，BC＝8时，求线段EF的长．










五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．【2022·佛山顺德区校级三模】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接AC，EF，BF，EF与AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若BC＝2，求AB的长．




23．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)?
答：______________________________.(直接填空，不用说理)
(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．


答案
一、1．C　点拨：矩形的性质：两组对边分别平行且相等，对角线相等且互相平分，四个角都是直角；正方形的性质：四条边相等，两组对边分别平行，对角线相等且互相垂直平分，四个角都是直角，∴正方形的四条边都相等，是矩形没有的．
2．A　点拨：∵菱形ABCD的周长为32，
∴4AB＝32，∴AB＝8.
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝AB＝×8＝4.
3．B　点拨：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB，AC＝BD＝8，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝BD＝4.
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝4，∴DC＝AB＝4.
4．B　点拨：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°.
∵AB＝2，AC＝3，
∴BC＝＝.
过B作BG⊥AC于G，易知BG＝AE.
∵S矩形ABCD＝AB·BC＝2＝2S△ABC，
而S△ABC＝AC·BG＝AC·AE＝S矩形AEFC，即S矩形ABCD＝S矩形AEFC＝2.
5．A　点拨：∵E，F分别是DC，AD的中点，
∴EF＝AC，EF∥AC.
同理，GH＝AC，GH∥AC，GF＝BD.
∴EF＝GH，EF∥GH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AC＝BD，∴EF＝GF.
∴平行四边形EFGH为菱形．
6．B　点拨：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADE，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10.
在Rt△ABE中，BE＝＝＝8.
7．D　点拨：连接AP.
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°.
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF与AP互相平分．
∵M是EF的中点，
∴M在AP上，且M为AP的中点，
∴PM＝AP.易知当AP⊥BC时，AP有最小值，则PM有最小值，
此时S△ABC＝AB·AC＝BC·AP，
∴AP＝＝4.8，
∴PM＝AP＝2.4.
8．C　点拨：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，OD＝OC，OD⊥OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，
∴∠DOE＋∠COE＝90°，
∵OF⊥OE，∴∠DOF＋∠DOE＝90°，
∴∠DOF＝∠COE，
在△DOF与△COE中，

∴△DOF≌△COE(ASA)．
∴S△DOF＝S△COE.
∴S△COD＝S四边形EOFD＝1.
∴S△COD＝OD·OC＝OD2＝1.
∴OD＝.
在Rt△COD中，CD＝＝＝2，
∴AB＝CD＝2.
9．B　点拨：连接AC，CF.
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°.
∵BC＝8，CE＝4，∴AC＝8，CF＝4，
由勾股定理得，AF＝＝4，
∵H是AF的中点，∠ACF＝90°，
∴CH＝AF＝2.
10．A　点拨：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
设AB＝CD＝a，则AD＝a，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝a，∴AE＝AB＝a，
∴AE＝AD，故①正确．
∵DH⊥AE，∠DAE＝45°，
∴△AHD是等腰直角三角形，
又∵AD＝a，∴DH＝AH＝a，
∴DH＝DC，
∵DH⊥AE，DC⊥CE，
∴ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，故②正确．
∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB.
∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠DFB＝180°.
又∠AHB＋∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝∠HFD.
易知∠BEH＝∠HDF＝45°.
在△BEH和△HDF中，

∴△BEH≌△HDF(AAS)．
∴BH＝HF，故③正确．
∵△BEH≌△HDF，∴HE＝DF.
∴CD－CF＝DF＝HE.
∵AB＝CD，∴AB－CF＝HE.故④正确．
综上所述，正确的是①②③④共4个．
二、11．5 cm　点拨：∵平行四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝5 cm.
12．15°　点拨：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°.
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝150°，
AB＝AD＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝(180°－∠BAE)＝15°.
13．15　点拨：在题图②中，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°.
∵AC＝30 cm，
∴AC2＝AB2＋BC2，即900＝2AB2.
∴AB＝15 cm.
在题图①中，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝15 cm，
∠BAC＝∠BAD，
∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB＝15 cm.
14．(3，4)或(2，4)或(8，4)　点拨：∵四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，
∴BC＝OA＝10，OC＝AB＝4，
∵点D是OA的中点，∴OD＝AD＝5.
①当OP＝OD＝5时，在Rt△OPC中，CP＝＝＝3，则P的坐标是(3，4)．
②当DP＝OD＝5时，过D作DM⊥BC于点M，
在Rt△PDM中，PM＝＝＝3.
当P在M的左边时，CP＝5－3＝2，则P的坐标是(2，4)；
当P在M的右侧时，CP＝5＋3＝8，则P的坐标是(8，4)．
综上所述，P的坐标为(3，4)或(2，4)或(8，4)．
15．①②③　点拨：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
易知NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形．
∴∠MEN＝90°，EN＝EM.
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，

∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴DE＝EF，故①正确；
②易知矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△DAE和△DCG中，

∴△DAE≌△DCG(SAS)，故②正确；
③由②得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠DAE＋∠ECD＝∠DCG＋∠ECD＝90°，
∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；
④当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误．
三、16．解：(1)如图，CD即为所求．
(2)如图，四边形CEDF是正方形，理由：
∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°.
∴四边形CEDF是矩形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴矩形CEDF是正方形．
17．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BE＝AC，∴BD＝BE.
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，OB＝OD，∠BCD＝90°.
∵∠DBC＝30°，
∴CD＝BD＝OB＝4，∴AB＝4.
18．解：(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴△ECD为直角三角形．
又∵F为DE的中点，
∴CF＝EF＝DE.
∴△CEF的周长为CE＋CF＋EF＝4＋2CF＝16，
∴CF＝6.
(2)在Rt△CED中，DE＝2CF＝12，
由勾股定理得DC＝＝＝8.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，O为BD的中点，
∴BE＝BC－CE＝8－4.
∵F为DE的中点，
∴OF＝BE＝4－2.
四、19．(1)证明：∵BF∥CD，CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，
∴四边形CDBF是菱形．
(2)解：当AC＝BC时，四边形CDBF是正方形．理由如下：
∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，
由(1)知，四边形CDBF是菱形，
∴四边形CDBF是正方形．
20．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠BAE＝∠BCF，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△BEA和△BFC中，

∴△BEA≌△BFC(AAS)，∴BE＝BF.
(2)解：∵菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，∴OA＝OC＝AC＝4，
OB＝OD＝BD＝3，∠AOD＝90°，
∴AD＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC·BD＝AD·BE，
∴BE＝＝.
21．(1)证明：∵对角线AC的垂直平分线EF分别与AC，BC，AD交于点O，E，F，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF＝CE.
∵AF＝CF，AE＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形．
(2)解：设AE＝CE＝x，则BE＝8－x，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＋BE2＝AE2，即42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即AE＝5.
∵AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，
∴AC＝＝4，∴OA＝2，
∴OE＝＝＝，
∴EF＝2OE＝2.
五、22．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF.
(2)解：连接OB，
∵BE＝BF，OE＝OF，∴BO⊥EF.
在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°.
∵△AOE≌△COF，∴OA＝OC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∴OA＝OB＝OC.
∴∠BAC＝∠ABO.
∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝30°.
∵BC＝2，∴AC＝2BC＝4.
∴AB＝＝＝2.
23．解：(1)四边形EGFH是平行四边形
(2)连接GH，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC.
又∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG＝AD，BH＝BC，∴AG＝BH，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6.
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
如图①，∵四边形EGFH是矩形，
∴EF＝GH＝6，
∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6，∴t＝2；

如图②，∵四边形EGFH是矩形，
∴EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6，∴t＝8.
综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8.