第1章 勾股定理 北师大版八年级数学上册综合素质评价(含解析） 试卷

这是一份第1章 勾股定理 北师大版八年级数学上册综合素质评价(含解析），共13页。
第一章综合素质评价
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．【2023·佛山南海区期中】下列各组数为勾股数的是(　　)
A．2，3，5 B．0.3，0.4，0.5
C．5，12，13 D．7，8，9
2．【2023·深圳福田区期中】如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为(　　)
A．7 B．5 C．25 D．1

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)
A． B． C．13 D．
4．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6，则BC2＝(　　)
A．8 B．16或64 C．4 D．4或16
5．【2022·佛山顺德区期末】如图所示的4个图中，能够验证勾股定理的有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．亮亮准备测量河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.2 m远的水底，竹竿高出水面0.4 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为(　　)
A．1.6 m B．2 m C．2.5 m D．3 m
7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①，②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是(　　)
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
8．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S处，若BC＝16，底面半径为2(π取3)，则点P移动的最短距离为(　　)
A．8 B．10 C．15 D．20

9．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为(　　)
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点E为射线BC上一点，若△ABE是等腰三角形，则△ABE的面积不可能是(　　)
A．10 B．12 C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．【2023·佛山禅城区月考】如图，一棵18 m高的树被风刮断了，树顶落在离树根12 m处，则折断处距地面的高度为________m.

12．如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 ________m.
13．【2023·佛山南海区校级月考】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.若AB＝13，BC＝12，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为________．
14．【2023·广州增城区期末】如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线上的港口A出发，向北偏东40°方向直线航行60海里到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65海里，则C岛到港口B的距离是________海里．
15．“绿水青山就是金山银山”这一科学论断成为树立生态文明观，引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图①的“七巧板”，设计拼成了图②的水杉树冠，如果已知图①中正方形纸片的边长为 2 cm，则图②中水杉树冠的高(即点A到线段BC的距离)是________cm.

三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．【母题：教材P4习题T4】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求△ABC的周长．





17．某市规定：小汽车在城市道路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后行驶到B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100米，请问这辆小汽车是否超速行驶？




18．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(四边形ABCD)，经测量， AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°.小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，铺满这块空地共需花费多少元？







四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离AB为600米，假设宣讲车周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上由M向N行驶．
(1)请问村庄能否听到广播宣传，说明理由；
(2)已知宣讲车的速度是200米/分，如果能听到广播宣传，那么村庄总共能听到多长时间的广播宣传？







20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在CB的延长线上．
(1)试说明：AD2－AB2＝BD·CD.
(2)若D在线段CB上，结论如何？试说明你的结论．










21．(1)如图①，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm.求该长方体中能放入木棒(木棒直径忽略不计)的最大长度；
(2)如图②，透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只壁虎正好在容器外壁且离容器上沿3 cm与饭粒相对的点A处．求壁虎吃到饭粒需要爬行的最短路程．



五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．如图，在△ABC中，AB∶CB∶CA＝3∶4∶5，且周长为72 cm.点M以每秒2 cm的速度从A向B运动，点N以每秒3 cm的速度从B向C运动．如果两点同时出发，经过4秒时，△BMN的面积为多少？








23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC的长；
(2)连接AP，当△ABP为直角三角形时，求t的值．


答案
一、1．C　点拨：22＋32＝13，52＝25，13≠25，故A不符合题意；0.3，0.4，0.5都不是正整数，故B不符合题意；52＋122＝169＝132，且5，12，13均为正整数，故C符合题意；72＋82＝113≠92，故D不符合题意．
2．A　点拨：因为正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，所以正方形C的面积为3＋4＝7.
3．B　点拨：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
所以AB＝13.
因为AC·BC＝CD·AB，
所以5×12＝13CD，
解得CD＝.
4．D　点拨：当∠C＝90°时，BC2＝AB2－AC2＝10－6＝4；
当∠A＝90°时，BC2＝AB2＋AC2＝10＋6＝16.
综上所述，BC2＝4或16.
5．A　点拨：第1个图：中间小正方形的面积为c2＝(a＋b)2－4×ab，化简得 c2＝a2＋b2；
第2个图：中间小正方形的面积为(b－a)2＝c2－4×ab，化简得a2＋b2＝c2；
第3个图：梯形的面积为(a＋b)(a＋b)＝2×ab＋c2，化简得a2＋b2＝c2；
第4个图：易知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积为＝ab＋c·c，化简得a2＋b2＝c2.
所以能够验证勾股定理的有4个．
6．A　点拨：设河水的深度为x m，
则竹竿的长为(x＋0.4)m.
由题意得x2＋1.22＝(x＋0.4)2，
解得x＝1.6，
所以河水的深度为1.6 m.
7．C　点拨：如图所示．

由题意可知，CD∥AB，OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r寸，
AE＝(AB－CD)＝(2r－2)＝(r－1)(寸)．
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，
所以(r－1)2＋102＝r2，解得r＝50.5，
所以AB＝101寸．
8．B　点拨：将圆柱的侧面展开，如图所示，连接AS，则AS的长即为点P移动的最短距离．

因为BC＝16，S为BC的中点，所以BS＝8.
因为圆柱的底面半径为2，
所以AB＝×2×2×3＝6，
在Rt△ABS中，由勾股定理得AS2＝AB2＋BS2，
即AS2＝62＋82，所以AS＝10.
9．B　点拨：在Rt△ABC中，
因为AC＝6 cm，BC＝8 cm，
所以AB＝10 cm.
因为△ADE是由△ADC翻折得到的，
所以CD＝DE，AC＝AE＝6 cm，
所以EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)．
设CD＝DE＝x cm，则DB＝(8－x)cm.
在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋EB2＝DB2，
所以x2＋42＝2，所以x＝3，所以CD＝3 cm.
10．D　点拨：因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
BC＝3，AB＝5，所以AC＝4.
由△ABE是等腰三角形可分三种情况讨论：
①当BE＝AB＝5时，S△ABE＝BE·AC＝×5×4＝10；
②当AE＝AB时，因为AC⊥BE，
所以易得BC＝CE＝3，所以BE＝6，
所以S△ABE＝BE·AC＝×6×4＝12；
③当AE＝BE时，
因为BE＝BC＋CE＝3＋CE，AE2＝AC2＋CE2，
所以(3＋CE)2＝42＋CE2，
解得CE＝，
所以BE＝3＋＝，
所以S△ABE＝BE·AC＝××4＝.
综上所述，△ABE的面积是10或12或.
二、11．5　点拨：由题意得BC＝12 m，AC＋AB＝18 m，∠ABC＝90°.
设AB＝x m，则AC＝(18－x)m.
由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，
即x2＋122＝(18－x)2，解得x＝5，
所以AB＝5 m，即折断处距地面的高度为5 m.
12．17　点拨：由勾股定理得，
楼梯的水平长度为12 m，
所以地毯的长度至少需要12＋5＝17(m)．
13．30　点拨：因为∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
所以AC2＝AB2－BC2＝25，
所以AC＝5，
所以S△ABC＝BC·AC＝×12×5＝30.
所以阴影部分的面积为π×＋π×＋S△ABC－π×＝(AC2＋BC2－AB2)＋S△ABC＝S△ABC＝30.
14．25　点拨：如图，过点A作AD垂直于南北方向的直线CD于点D，则 ∠ADC＝90°.

根据题意得∠CAD＝90°－40°＝50°，
所以∠ACD＝90°－∠CAD＝40°，
所以∠ACB＝40°＋50°＝90°.
因为AC＝60海里，AB＝65海里，
所以BC＝25海里．
故C岛到港口B的距离是25海里．
15．(＋1)　点拨：如图，过A作AE⊥MN于E，
∵MN＝BH＝2 cm，
∴AE＝MN＝1(cm)，
HF＝BF＝BH＝(cm)，
∴水杉树冠的高为AE＋HF＝(＋1)cm.

三、16．解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得AB2＝AD2＋BD2， AC2＝AD2＋CD2.
因为AD＝12，BD＝16，CD＝5，
所以AB＝20，AC＝13，
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.
17．解：根据题意得AC＝60 m，AB＝100 m，
∠C＝90°.
在Rt△ACB中，
根据勾股定理得BC2＝AB2－AC2，
所以BC＝80米．
由题意知小汽车4秒行驶80米，
即小汽车的行驶速度为72千米/时．
因为 72＞70，所以这辆小汽车超速行驶．
18．解：如图，连接AC.
因为在△ABC中，AB＝3 m，BC＝4 m，∠B＝90°，
所以AC＝5 m.
因为在△ACD中，AC＝5 m，CD＝12 m，DA＝13 m，
所以AC2＋CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形，
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×5×12＝6＋30＝36 (m2)．
36×30＝1 080(元)．
故铺满这块空地共需花费1 080元．
四、19．解：(1)村庄能听到广播宣传．
理由：因为村庄到公路MN的距离AB为600米，600