2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷（含解析）

2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，若几何体是由六个棱长为的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

7.  某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在正方形中，，动点，分别从点，同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，设点
运动的路程为，的面积为，下列图象中能反映与之间函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作每种长度的导线至少一根，则截取方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

10.  如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
；
；
；
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
若点均在该二次函数图象上，则．
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.  中国经济韧性强、潜力大、活力足据文化和旅游部统计，年春节假期全国国内旅游出游达到人次，同比增长了将用科学记数法表示为______ ．

12.  如图，在四边形中，，于点请添加一个条件：______ ，使四边形成为菱形．

13.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

14.  若圆锥的底面半径长，母线长，则该圆锥的侧面积为______ 结果保留

15.  如图，点在反比例函数图象的一支上，点在反比例函数图象的一支上，点，在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______ ．

16.  矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______ ．

17.  如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，连接，过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；；按照如此规律操作下去，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：；
分解因式：．

19.  本小题分
解方程：．

20.  本小题分
为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间单位：分钟进行调查将调查数据进行整理后分为五组：组“”；组““；组““；组““；组““现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
这次调查的样本容量是______ ，请补全条形统计图；
在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是______ ，本次调查数据的中位数落在______ 组内；
若该中学有名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过分钟的学生有多少人？

21.  本小题分
如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．
求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积结果保留

22.  本小题分
一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时分钟，然后立即按原路匀速返回地巡逻车、货车离地的距离千米与货车出发时间小时之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
，两地之间的距离是______ 千米， ______ ；
求线段所在直线的函数解析式；
货车出发多少小时两车相距千米？直接写出答案即可

23.  本小题分
综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
发现问题：如图，在和中，，，，连接，，延长交于点则与的数量关系：______ ， ______ ；
类比探究：如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
拓展延伸：如图，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点则，，之间的数量关系：______ ；
实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ______ ．

 

24.  本小题分
综合与探究：
如图，抛物线上的点，坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接，．
求点的坐标及抛物线的解析式；
点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点的坐标；
点是线段包含点，上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标；
将抛物线沿轴的负方向平移得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______ ，的最小值为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
符号不同，但绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
本题考查相反数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，所以符合题意．
故选：．
根据中心对称图形定义和轴对称图形的定义对几个图形进行分析．
本题主要考查了中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，难度不大，认真分析即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
则不符合题意；
B.，
则不符合题意；
C.，
则符合题意；
D.，
则不符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，幂的乘方，单项式乘单项式法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
又，
，
故选：．
依据，即可得到，再根据，即可得出从．
此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左边看，共有层，底层有个正方形，上层中间有个正方形，共个正方形，
因为棱长为，所以面积为，
故选：．
先得出从左面看得到的图形，然后根据面积公式即可求出左视图的面积．
本题考查了三视图，左视图是从物体的左面看到的视图，属于基础题，较简单．
 

6.【答案】 

【解析】解：将分式方程两边同乘，去分母可得：，
移项，合并同类项得：，
原分式方程的解是负数，
，且，
解得：且，
故选：．
解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件切得的取值范围即可．
本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，特别注意解得的分式方程的解不能使最简公分母为．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有种，
刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：时，在上，在上，依题意可知：
设，
，


；
该二次函数图象开口向上，
当时，二次函数的最小值为；
当或时，二次函数的最大值为；
故选：．
根据点的运动情况，写出每种情况和之间的函数关系式，即可确定图象．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

9.【答案】 

【解析】解：设截成的导线根，截成的导线根，
根据题意得，
，
，
，
是正整数，
的值为，，，，，，，
即截取方案共有种．
故选：．
设截成的导线根，截成的导线根，根据“长度为的导线”列出二元一次方程，求正整数解即可．
本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故正确，
，
，故错误，
抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，故正确，
方程的解可看做与的交点，
，
当过抛物线顶点时，两函数只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，故错误，
点关于直线对称，
，故正确．
故选：．
根据图象特征可判断，根据对称轴可判断，根据抛物线与轴的交点即对称轴确定抛物线与轴的另一个交点后可判断，将方程的解看做与的交点可判断，由点关于直线对称可判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
本题主要根据科学记数法的定义来解答．
本题主要考查了科学记数法的定义，难度不大．
 

12.【答案】或或等 

【解析】解：当添加“”时，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
当添加：“”时，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
当添加“”时，
，，
≌，
，，
四边形是菱形；
当添加：“”时，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故答案为：或或 或等．
根据或或或，证得四边形是平行四边形，再根据可证得四边形是菱形；根据，证得≌，得到，，可证得四边形是菱形．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角全等三角形全等的判定，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定，利用数形结合的思想解答．
 

13.【答案】且 

【解析】解：已知函数为，
则，且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件及分母不能为即可求得答案．
本题考查求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件及分母不能为求得，且是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积
故答案为：．
解析圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
 

15.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
，
，，
，
解得．
故答案为：．
由正方形的面积可求，的长度，从而可求出，两点的横坐标，结合长度列出关于的方程，即可求解．
本题主要考查了反比例函数中的面积问题，最基本的思路是通过点的坐标去求解，对于某些问题可以通过的几何意义去求解．
 

16.【答案】或 

【解析】解：设，交于点，
将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，
，，
四边形是矩形，
，
，，
又，
≌，
，
当点在点的右侧时，如图所示，

，，
，
中，
，
，
，
，
，
；
 当点在点的左侧时，如图所示，

，，，
，
，
，
，
，
，
 综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分点在点右边与左边两种情况，分别画出图形，根据勾股定理，锐角三角函数即可求解．
本题考查矩形中的折叠问题，涉及勾股定理，锐角三角函数等知识，分类讨论是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
同理可得：，均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：，，，
由此可推出：点的坐标为，
故答案为：
根据题意，结合图形依次求出，，的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．
 

18.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】根据绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可；
先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查实数的运算及因式分解，特别注意因式分解必须彻底．
 

19.【答案】解：，
，
或，
，． 

【解析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为，再利用积为的特点求解即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
 

20.【答案】     

【解析】解：这次调查的样本容量是：；
组的人数为：人，
补全条形统计图如下：

故答案为：；
组对应的圆心角的度数是：；
本次调查数据的中位数落在组，
故答案为：；；
人，
答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过分钟的学生有人．
根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
半径于点，
是的切线；
解：连接，，
，，
，，
，
，
是的直径，
，
平分，
，
在中，，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
． 

【解析】连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此推出，得到半径，即可证明问题；
连接，，由，得到，由直角三角形的性质求出长，由锐角的余弦求出长，得到圆的半径长，由，推出阴影的面积扇形的面积，由扇形面积公式即可解决问题．
本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，圆周角定理，角平分线定义，关键是证明；推出．
 

22.【答案】   

【解析】解：千米，
，两地之间的距离是千米；
货车到达地填装货物耗时分钟，
，
故答案为：，；
设线段所在直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
巡逻车速度为千米小时，
线段的解析式为，
当货车第一次追上巡逻车后，，
解得；
当货车返回与巡逻车未相遇时，，
解得；
当货车返回与巡逻车相遇后，，
解得；
综上所述，货车出发小时或小时或小时，两车相距千米．
用货车的速度乘以时间可得，两地之间的距离是千米；根据货车到达地填装货物耗时分钟，即得；
设线段所在直线的解析式为，用待定系数法可得线段所在直线的函数解析式为；
求出线段的解析式为，分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，；当货车返回与巡逻车未相遇时，；当货车返回与巡逻车相遇后，，分别解方程可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
 

23.【答案】     或 

【解析】解：，，
理由如下：如图所示：
和都是等腰三角形，
，，
又，
≌，
，
，
，
，
；

，，
理由如下：如图所示：
证明：，
，
即，
又和都是等腰三角形，
，，
≌
，
，
，，
，
；

，
理由如下：如图所示：
和都是等腰三角形，
，，，
，
即：，
≌，
，
，，，
，
，
；

如图所示：
连接，以为直径作圆，
由题意，取满足条件的点，，则，
，
，
连接，作于点，在上截取，
，，
≌，
，，
，
由可得：，
，
，
同理可得：，
故的面积为：或．

根据等腰三角形的性质，利用证明≌即可得出结论；
根据等腰三角形的性质，利用证明≌即可得出结论；
根据等腰直角三角形的性质，利用证明≌即可得出结论；
根据直径所对的圆周角是直角，先找到点，利用勾股定理计算出，再利用第小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出．
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：点在轴负半轴且，
，
将，代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
解：过点作轴于点，交线段于点，

设直线的解析式为，
将，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
设点的横坐标为，
则，，
，
，，
解得，
；
在中，，以点，，为顶点的三角形与相似，
以点，，为顶点的三角形也是直角三角形，
又轴，直线交直线于点，
，即点不与点是对应点，
故分为和两种情况讨论：
当时，由于轴，
轴，即在轴上，
又点在抛物线上，
此时点与点重合，
作出图形如下：

此时，
又，
∽，即此时符合题意，
令，
解得：，舍去，
点的坐标，也即点的坐标是；
当时，作图如下：

轴，，
，
，
，，
∽，即此时符合题意，
∽，
，即，
，，
∽，
，，
设点的横坐标为，则，，
，，
，
解得：，舍去，
点的坐标是，
综比所述：点的坐标是，；
设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，
将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，，
的值最小就是最小值，
显然点在直线上运动，
作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，

点关于直线对称的对称的点是点，，
，
，
设直线“的解析式是：，
将点，代入得：，
解得：，
直线的解析式是：，
令，解得：，
，
平移的距离是，
又，
平移前的抛物线的顶点坐标是，
新抛物线的顶点坐标为即，
故答案是：，．
根据点在轴负半轴且可得点的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；
 过点作轴于点，交线段于点，用待定系数法求得直线的解析式为设点的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出的值，从而得出点的坐标；
由可知，要使点，，为顶点的三角形与相似，则以点，，为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，当，可推导与点重合，∽，即此时符合题意，利用求抛物线与轴交点的方法可求出点的坐标；当时，可推导∽，即此时符合题意，再证明∽，从而得到，再设点的横坐标为，则，，从而得到，解得的值，从而得到点的坐标，最后综合即可；
设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点右平移个单位长度得到点，由平移的性质可知，，，的值最小就是最小值，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．