2022-2023学年四川省宜宾市叙州重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州重点中学高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在复平面内，复数是虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛．若得到的样本中高二的学生数量比高一多人、比高三少人，且全校高一、高三学生数之比为：，则样本容量为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地月日到日日均值单位：的统计数据，则下列叙述不正确的是(    )

 

A. 从这天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
B. 从日到日，日均值逐渐降低
C. 这天中日均值的平均数是
D. 这天的日均值的中位数是

4.  给定数据：，，，，，，则其第百分位数、第百分位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  在中，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知中，，，分别是，，的中点，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，角，，所对的边分别为，，，已知下列条件，只有一个解的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

9.  下列说法错误的是(    )

A. 零向量没有方向
B. 共线向量是同一条直线上的向量
C. 若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得
D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

10.  甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(    )

A.  B. 事件与事件相互独立
C. 事件与事件相互独立 D. ，互斥

11.  已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为(    )

A. 在区间上单调递增 B. 是的一个周期
C. 的值域为 D. 的图象关于轴对称

12.  直角中，斜边，为所在平面内一点，其中，则(    )

A. 的取值范围是
B. 点经过的外心
C. 点所在轨迹的长度为
D. 的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大，则的最大值是______．

14.  如图：在山脚下测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到达点，在处测得山顶的仰角为，则山高为______ 米．

15.  化简的结果是______．

16.  已知点为的内心，，，，若，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在三角形中，，点为边中点，点在边上，且，与相交于点．
将向量用向量表示；
若，，求．

18.  本小题分
某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
估计这组数据的平均数；
若成绩在内的学生中男生占现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率．

19.  本小题分
在中，设角，，的对边分别为，，已知向量，，且．
求角的大小；
若，，求的面积．

20.  本小题分
如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，点为侧棱上一点．
若，求证：平面；
若，平面，求证：平面平面．

 

21.  本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
已知，为边上的一点，若，，求的长．

 

22.  本小题分
在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且，，．
Ⅰ求证：．
Ⅱ求二面角______的余弦值；
从，，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
Ⅲ若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数，
则复数的共轭复数所对应的点位于第三象限．
故选：．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
设样本中高一学生数为，则高三学生数为，再由得到的样本中高二的学生数量比高一多人、比高三少人，列出方程求出，由此能求出样本容量．

【解答】

解：设样本中高一学生数为，则高三学生数为，
得到的样本中高二的学生数量比高一多人、比高三少人，
，
解得，
高一学生数为，
高二学生数为，
高三学生数为．
样本容量为：．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：对于，从这天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，
空气质量为一级的天数为天，
故空气质量为一级的概率是，故A正确，
对于，由图可知，从日到日，日均值逐渐降低，故B正确，
对于，这天中日均值的平均数是 ，故C正确，
对于，将天的数据从小到大排序为：，，，，，，，，，，
则这天的日均值的中位数，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合折线图的数据，平均数公式，中位数的定义，即可依次求解．
本题主要考查折线图的应用，考查转化能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查百分位数计算方法，考查数学运算能力，属于基础题．
按照百分位数计算方法计算即可．

【解答】

解：，第百分位数是第二个数；
，
第百分位数是第三个数与第四个数的平均数．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由正弦定理，得：，
解得．
故选：．
依题意，由正弦定理即可求得边的长．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
由已知结合向量的线性表示及共线定理可求．

【解答】

解：，故．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
由任意角的三角函数定义求得，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【解答】
解：由角的终边经过点，得．
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：对于：由正弦定理得，故，
，，
故B可能为锐角或钝角，有解，故A错误；
对于：由正弦定理得，故，
故B无解；
对于：由正弦定理得，
，
，，
故B为钝角，
又，且，此时无解，故C错误；
对于：，
故C，只有解．
故选：．
由已知结合正弦定理，结合各选项进行判断即可．
本题考查正弦定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对，零向量的方向规定为任意方向，故A错误，
对，共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故B错误，
对，根据共线定理可知，，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故C错误，
对，，故D正确，
故选：．
根据零向量和共线向量的定义即可判断，，由共线定理可判断，根据向量数量积的性质即可判断．
本题主要考查向量的有关概念，考查了向量的数量积的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，，
则，故A正确；
事件与事件，不相互独立，故B、C错误；
、不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确．
故选：．
故选：．
由互斥事件及条件概率公式求得判断；由相互独立事件的概念判断与；根据互斥事件的概念判断．
本题考查相互独立事件、互斥事件的概念，考查条件概率的求法，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，函数的单调性，函数的值域，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，函数的单调性，函数的值域的应用判断、、、的结论．

【解答】

解：函数，
对于：由于函数：，，
，，故A错误；
对于：由于，，而，故B错误；
对于：当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，
当时，，故的一个周期为，
故的值域为，故C正确．
对于：根据函数，故函数为偶函数，故函数的图象关于轴对称，故D正确；
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以，，共线，故在线段上，轨迹长为，又是的外心，B正确，C错误；

由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确．
故选：．
由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断；若为中点，根据已知有，，共线，即可判断、；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设数据，，，的平均数为，方差为，
则，，
由题意可知，，
则，解得，
所以，
故当时，的最大值是．
故答案为：．
根据已知条件，结合平均数，方差的线性公式，推得，，再结合二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查平均数，方差的线性公式，考查转化能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】
解：过作，交于点，过作，交于点，
可得，
在中，，，
，即，
则




．
故答案为：
过作垂直于，过作垂直于，可得，由已知条件表示出及，在三角形中，由，及，利用正弦定理表示出，在直角三角形中，由表示出，在直角三角形中，由表示出，即为的长，然后由表示出即可．
此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，锐角三角函数定义，以及直角三角形的边角关系，利用正弦定理表示出是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式，二倍角公式在化简求值中的应用属于基础题．
利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式等对已知式子化简即可求解．
【解答】解：

 
，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：在，由余弦定理得，
设，，分别是边，，上的切点，
设，则，，
所以，
由得，，
即，
同理由，
联立以及，即可解得：，
故答案为：．
根据余弦定理可求，进而根据切线长定理可求，进而根据数量积的运算以及几何意义即可求解．
本题考查了平面向量数量积的性质和运算，属于中档题．
 

17.【答案】解：依题意，可建立如图所示的平面直角坐标系，

设，，，，
则，，，，
则，
设，
故，
进而，
因为，
所以，
解得，
故，
所以；
由知，
又，
故

． 

【解析】根据垂直关系，建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算以及共线的坐标运算，即可求解；
用基底向量表示，根据数量积的运算即可求解．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图得，
解得；
这组数据的平均数；
数学成绩在内的人数为人，
其中数学成绩在内的男生人数为人，则女生人数为人，
记名男生分别为，，名女生分别为，，，
从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为
，，，，，，，，，共种结果，
其中人中恰有名女生的基本事件为，，，，，，共种结果，
所以人中恰有名女生的概率为． 

【解析】利用频率分布直方图中小长方形面积和等于，即可计算出的值；
利用已知数据和平均数的公式即可求出平均数；
利用列举法和古典概型的概率公式即可求解．
本题考查频率分布直方图、古典概型，考查运算求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养解．
 

19.【答案】解：中，向量，，且，
，
，
又，
；
若，，
则，
，
由余弦定理，
，
解得，，
的面积为
． 

【解析】根据平面向量的数量积与同角的三角函数关系求得角的值；
由正弦、余弦定理求得、的值，再计算的面积．
本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题．
 

20.【答案】证明：设，的交点为，连接，
底面为菱形，
为中点，
又，
，
且平面，平面，
平面．
底面为菱形，，
底面，底面，
，，，平面，
平面，
又平面，
，
，，，平面，
平面，
又平面，
平面平面． 

【解析】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基础题．
连接，与交于点，连接，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理，即可得到平面；
由已知中平面，四棱锥的底面是菱形，可证得，由线面垂直的判定定理可得平面再由面面垂直的判定定理得到平面平面．
 

21.【答案】解：因为，
所以，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
因为，，，
根据余弦定理得，
所以，
因为，
所以，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，，
，
所以． 

【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值，结合的范围即可求解的值．
由题意利用余弦定理可求的值，由，利用诱导公式，正弦定理可求，进而可求，即可得解的值．
 

22.【答案】Ⅰ证明：平面平面，平面平面，
平面，，
平面，
平面，．
Ⅱ解：选择，
在平面内过点作，交于，
由Ⅰ知，平面，故AD，
所以，，两两垂直，
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
平面，平面的一个法向量为，
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
，
由题意知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
选择，
在平面内过点作，交于，
由Ⅰ知，平面，故AD，
所以，，两两垂直，
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，
，，
，取，得，
设二面角的平面角为，由题意知是钝角，
故二面角的余弦值为．
选，
在平面内过点作，交于，
由Ⅰ知，平面，故AD，
所以，，两两垂直，
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
平面的法向量，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，易知为锐角
则二面角的余弦值为．
Ⅲ证明：假设上存在点，使，设，，
依题意可知，
，，，
，，设，
则，此方程组无解，故假设不成立，
故对于棱上任意一点，与都不平行． 

【解析】本题考查线线垂直、线线平行的向量表示，考查二面角的向量求法，线面垂直的性质，属于较难题．
Ⅰ由，得平面，由此能证明．
Ⅱ在平面内过点作，交于，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值．
Ⅲ假设上存在点，使，设，，利用向量法推导出假设不成立，由此能证明对于棱上任意一点，与都不平行．