高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品第1课时测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品第1课时测试题，共10页。
4.2.2　等差数列的前n项和公式第1课时　等差数列前n项和公式的推导及简单应用学习目标　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点　等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d 1．等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加．(　√　)2．若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　√　)3．等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(　√　)4．1＋2＋3＋…＋100＝.(　√　)一、等差数列前n项和的有关计算例1　在等差数列{an}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.解　(1)解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.反思感悟　等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．跟踪训练1　在等差数列{an}中：(1)a1＝1，a4＝7，求S9；(2)a3＋a15＝40，求S17；(3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.(2)S17＝＝＝＝340.(3)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.又a15＝＋(15－1)d＝－，所以d＝－，所以n＝15，d＝－.   二、等差数列前n项和的比值问题例2　有两个等差数列{an}，{bn}满足＝，求.解　方法一　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则＝＝，则有＝，①又由于＝，②观察①，②，可在①中取n＝9，得＝＝.故＝.方法二　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，则有＝，其中An＝，由于a1＋a9＝2a5.即＝a5，故A9＝＝a5×9.同理B9＝b5×9.故＝.故＝＝＝.方法三　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，因为等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn＝an，根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0)．所以a5＝A5－A4＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.所以＝＝.方法四　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由＝，有＝＝＝.反思感悟　设{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则an∶bn＝S2n－1∶T2n－1.跟踪训练2　已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，＝，则等于(　　)A.  B.  C．1  D．2答案　A解析　由等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质得S11＝＝11a6，同理可得T11＝11b6，因此，＝＝＝＝.1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于(　　)A．－n2＋   B．－n2－C.n2＋   D.n2－答案　A解析　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝＝－n2＋.2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　)A．18  B．27  C．36  D．45答案　C解析　S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　)A．1  B.  C．2  D．3答案　C解析　因为S3＝＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝＝2.4．在等差数列{an}中，已知a10＝10，则S19＝________.答案　190解析　S19＝＝＝190.5．已知在等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝________，a12＝________.答案　12　－4解析　∵Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝＋(12－1)×＝－4.1．知识清单：(1)等差数列前n项和及其计算公式．(2)等差数列前n项和公式的推导过程．(3)由an与Sn的关系求an.(4)等差数列在实际问题中的应用．2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想．3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　)A．49  B．42  C．35  D．28答案　B解析　2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.2．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于(　　)A．10  B．15  C．20  D．30答案　C解析　因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍)．3．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于(　　)A．18  B．20  C．22  D．24答案　B解析　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.4．(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于(　　)A．－1  B．3  C．5  D．7答案　AB解析　由题意知a1＋(n－1)×2＝11，①Sn＝na1＋×2＝35，②由①②解得a1＝3或－1.5．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为(　　)A．7   B．8C．9   D．10答案　B解析　由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其首项a1＝________，公差d＝________.答案　1　解析　a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝.7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________.答案　5解析　因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.8．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝________.答案　解析　设数列{an}的公差为d，由题意得10a1＋×10×9d＝4，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，所以10a1＝5d，所以＝.9．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则解得∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列的前n项和Tn.解　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.∵S7＝7，S15＝75，∴即解得∴＝a1＋d＝－2＋，∴－＝，∴数列是等差数列，且其首项为－2，公差为.∴Tn＝n2－n.11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)A．765  B．665  C．763  D．663答案　B解析　∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.12．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn·Sn＋1，则Sn＝________.答案　－解析　当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1，即－＝－1，所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－.13．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)，则＝________.答案　解析　∵{an}，{bn}均为等差数列，∴＝＝＝＝. 14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案　10解析　钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　)A.   B.C.   D.答案　C解析　由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝.16．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．解　(1)∵S4＝28，∴＝28，a1＋a4＝14，∴a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9，∴解得∴an＝4n－3，n∈N*.(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，∴b1＝，b2＝，b3＝.又{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，即2×＝＋，解得c＝－(c＝0舍去)．