高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品第1课时练习题

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4.3.2　等比数列的前n项和公式
第1课时　等比数列前n项和公式
学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．

知识点一　等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式
Sn＝
Sn＝

知识点二　等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．

1．等比数列前n项和Sn不可能为0.(　×　)
2．若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　√　)
3．若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.(　×　)
4．若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　√　)

一、等比数列前n项和公式的基本运算
例1　在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
解　(1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
(2)方法一　由题意知
解得
从而S5＝＝.
方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，
从而S5＝＝.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根．
从而或
又Sn＝＝126，
所以q＝2或.
反思感悟　等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪训练1　在等比数列{an}中．
(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
解　(1)由Sn＝得，11＝，
∴q＝－2，
又由an＝a1qn－1得，16＝(－2)n－1，
∴n＝5.
(2)若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，
∴q≠1，
∴S4＝＝1，
S8＝＝17，
两式相除得＝17＝1＋q4，
∴q＝2或q＝－2，
∴a1＝或a1＝－，
∴an＝·2n－1或－·(－2)n－1.
二、利用错位相减法求数列的前n项和
例2　求数列的前n项和．
解　设Sn＝＋＋＋…＋，
则有Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，
即Sn＝－＝1－－.
∴Sn＝2－－＝2－(n∈N*)．
反思感悟　错位相减法的适用范围及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
跟踪训练2　已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0,1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
a1＝，
因为a1，a2，a3－成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－，
即得4q2－8q＋3＝0，
解得q＝或q＝，
又因为q∈(0,1)，所以q＝，
所以an＝·n－1＝.
(2)根据题意得
Sn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)×，
Sn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，
两式相减得
Sn＝1×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×
＝＋×－(2n－1)×
＝－－，
所以Sn＝3－－＝3－，n∈N*.
三、等比数列前n项和的性质
例3　(1)在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝________.
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.
(3)若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝________.
答案　(1)28　(2)2　(3)
解析　(1)∵数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1，∴S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列，即7，S4－7,91－S4构成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)>0，∴S4＝28.
(2)由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝2.
(3)∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，
∴3－2k＝0，即k＝.
延伸探究
本例(3)中，若将条件改为“若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·n－1＋5”，再求实数a的值．
解　由Sn＝a·n－1＋5，可得Sn＝3a·n＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－.
反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练3　(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
答案　C
解析　S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．
解　设数列{an}的首项为a1，公比为q，
所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，
所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，
所以a·q3＝64，
即a1＝12，
故所求通项公式为an＝12×n－1，n∈N*.

1．在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于(　　)
A．－25 B．25 C．－31 D．31
答案　D
解析　因为an＋1＝2an，且a1＝1，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列{an}的前5项的和为＝31.
2．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　当x＝1时，Sn＝n；
当x≠1且x≠0时，Sn＝.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　)
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
答案　A
解析　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
4．已知在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1＝________.
答案　或6
解析　方法一　当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，
满足S3＝.
当q≠1时，依题意，得
解得
综上可得a1＝或a1＝6.
方法二　
所以a1＋a2＝3，
所以＝＝2，
所以q＝1或q＝－.
所以a1＝或a1＝6.
5．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
答案　80
解析　令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，
Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.

1．知识清单：
(1)等比数列前n项和公式．
(2)利用错位相减法求数列的前n项和．
(3)等比数列前n项和的性质．
2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论．
3．常见误区：
(1)忽略q＝1的情况而致错．
(2)错位相减法中粗心出错．
(3)忽略对参数的讨论．


1．在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于(　　)
A．4－2100 B．4＋2100 C．4－2－98 D．4－2－100
答案　C
解析　q＝＝.
S100＝＝
＝4(1－2－100)＝4－2－98.
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－ C. D.
答案　A
解析　易知q≠－1，因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，
且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，
即8，－1，S9－S6成等比数列，
所以8(S9－S6)＝1，
即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.
3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5等于(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
答案　C
解析　等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)，
化简得an＝2n－2.
则a3a5＝2×23＝16.
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则等于(　　)
A．10 B．9 C．－8 D．－5
答案　A
解析　设数列{an}的公比为q，
由27a4＋a7＝0，
得a4(27＋q3)＝0，
因为a4≠0，
所以27＋q3＝0，则q＝－3，
故＝＝10.
5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于(　　)
A.或5 B.或5
C. D.
答案　C
解析　设数列{an}的公比为q，显然q≠1，
由已知得＝，
解得q＝2，
∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，
前5项和为＝.
6．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2·3n＋r，则r＝________.
答案　－2
解析　Sn＝2·3n＋r，由等比数列前n项和的性质得r＝－2.
7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________，a1＝________.
答案　5　3
解析　由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，
得解得
8．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
答案　－2
解析　由题意知2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
若q＝1，则Sn＝na1，式子显然不成立，
若q≠1，则有2＝
＋，
故2qn＝qn＋1＋qn＋2，
即q2＋q－2＝0，∴q＝－2.
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求数列{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解　(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a12＝3，
故a1＝4.
从而Sn＝＝.
10.已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
解　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，
得an＝2n(n∈N*)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，bn＝bn＋1－bn.
整理得＝，又＝，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．

11．在等比数列{an}中，a1＝4，q＝5，则使Sn>107的最小正整数n的值是(　　)
A．11 B．10
C．12 D．9
答案　A
解析　由题意可知在等比数列{an}中，a1＝4，q＝5，
∴Sn＝＝5n－1.
∵Sn>107，
∴5n－1>107，
∴n>10.01，
∵n为正整数，∴n≥11，
故n的最小值为11.
12．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥2)，则Tn的最大值为(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　D
解析　设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得
S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
因为项数为奇数时，＝q，
即2＋q＝，
所以q＝.
所以Tn＝a1·a2·…·an
＝aq1＋2＋…＋n－1＝
故当n＝1或2时，Tn取最大值，为2.
13．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为(　　)
A．1 673 B．1 675 C. D.
答案　D
解析　因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，
所以＝2 014，
即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，
所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为
＝＝.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则Sn＝________.
答案　
解析　当n＝1时，则有2S1＝a2－1，
∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；
当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得出2Sn－1＝an－1，
上述两式相减得2an＝an＋1－an，
∴an＋1＝3an，
得＝3且＝3，
∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴Sn＝＝.

15．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在直线y＝x＋上．若bn＝则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
答案　
解析　依题意得＝n＋，
即Sn＝n2＋n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－＝2n－；
当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－，
所以an＝2n－(n∈N*)，
则
由＝＝32＝9，
可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9，
故Tn＝＝.
16．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由已知条件可得解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n，n∈N*.
(2)设数列的前n项和为Sn，
即Sn＝a1＋＋…＋，①
＝＋＋…＋＋.②
所以，①－②得
＝a1＋＋…＋－
＝1－－
＝1－－＝.
所以Sn＝，
所以数列的前n项和Sn＝，n∈N*.