高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第4章 再练一课(范围：§4.1～§4.2)(含解析)

再练一课(范围：§4.1～§4.2)

1．(多选)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项可能是(　　)

A．an＝(－1)n－1＋1

B．an＝

C．an＝2sin

D．an＝cos(n－1)π＋1

答案　ABD

解析　对n＝1,2,3,4进行验证，知an＝2sin 不合题意，故选ABD.

2．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则(　　)

A．Sn＝2n2－6n   B．Sn＝n2－3n

C．an＝4n－8   D．an＝2n

答案　AC

解析　设等差数列{an}的公差为d，

则

解得

∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋4(n－1)＝4n－8，Sn＝na1＋＝－4n＋2n(n－1)＝2n2－6n.

3．在等差数列{an}中，a2 000＝log27，a2 022＝log2，则a2 011等于(　　)

A．0  B．7  C．1  D．49

答案　A

解析　因为数列{an}是等差数列，所以由等差数列的性质可知2a2 011＝a2 000＋a2 022＝log27＋log2＝log21＝0，故a2 011＝0.

4．在等差数列{an}中，若a1 009＋a1 010＋a1 011＋a1 012＝18，则该数列的前2 020项的和为(　　)

A．18 126   B．9 072

C．9 090   D．12 084

答案　C

解析　∵a1＋a2 020＝a1 009＋a1 012＝a1 010＋a1 011，而a1 009＋a1 010＋a1 011＋a1 012＝18，∴a1＋a2 020＝9，

∴S2 020＝(a1＋a2 020)×2 020＝9 090.

5．(多选)已知首项为正数的数列{an}为等差数列，且(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)<0，则(　　)

A．S12>0   B. a6>0

C．S13>0   D. a6＋a7>0

答案　ABD

解析　由等差数列的性质可得(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)

＝2(a6＋a7)(3a7)＝6(a6＋a7)a7<0，

故可得或

因为首项为正数的数列{an}为等差数列，

若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾，

所以

所以a6>0>a7，

所以S12＝×12＝×12>0，

S13＝×13＝13a7<0.

6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则d＝________， a6＝________.

答案　2　13

解析　设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，

∴d＝2，

∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.

7．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.

答案　

解析　由an＋1＝，

得an＝1－，

∵a8＝2，

∴a7＝1－＝，

a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，

…，

∴{an}是以3为周期的数列，

∴a1＝a7＝.

8．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片________块．

答案　570

解析　根据题意可知，每一层所铺瓦片由上至下依次构成一个等差数列．设数列为{an}，

则a1＝21，d＝1，n＝19，

∴S19＝＝570，

即该斜面共铺了570块瓦片．

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－13n＋1.

(1)求数列的通项公式；

(2)求Sn的最大或最小值．

解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－11，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－13n＋1)－[(n－1)2－13(n－1)＋1]＝2n－14，

所以数列{an}的通项公式是

an＝

(2)因为Sn＝n2－13n＋1＝2－，

其图象是以n＝为对称轴，

开口向上的抛物线上的一些孤立的点，

又因为n∈N*，

所以Sn的最小值为S6＝S7＝－41.

10．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．

解　(1)因为a1＋a2＋a3＝12，a1＋a3＝2a2，

所以3a2＝12，解得a2＝4.

因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，解得d＝2.

所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n，n∈N*.

(2)由(1)知，a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n.

当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.

所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．

所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n，n∈N*.

11．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 020>0，S2 021<0，则下列说法正确的是(　　)

A．S1 010最大

B．|a1 010|>|a1 011|

C．a1 011>0

D. 数列中绝对值最小的项为a1 011

答案　ABD

解析　∵S2 020>0，S2 021<0，

∴＝>0，

＝2 021a1 011<0，

∴a1 010＋a1 011>0，a1 011<0，

可得a1 010>0，a1 011<0，|a1 010|>|a1 011|，故A，B都正确，C错误，

由等差数列的单调性即可得出：

此数列中绝对值最小的项为a1 011，故D正确．

12．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为(　　)

A．1.5尺   B．2.5尺

C．3.5尺   D．4.5尺

答案　D

解析　∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，

其晷长依次成等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d，

根据题意⇒⇒

∴立秋的晷长为a4＝1.5＋3＝4.5.

13．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面．

答案　20

解析　该物体经过t秒降落到地面．

物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．

所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，

即4.90t2＝1 960，解得t＝20.

14．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________；若的值为正整数，则n＝________.

答案　　1或3

解析　在等差数列中，＝

＝＝，

∵＝，

∴＝＝.

∵＝＝＝＝3 － 为正整数，

∴n ＝ 1或3.

15．(多选)如果一个实数数列{an}满足条件：a－an＝d(d为常数，n∈N*)，则这一数列为“伪等差数列”，d称“伪公差”．给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论：其中正确的结论是(　　)

A．对于任意的首项a1，若d<0，则这一数列必为有穷数列

B．当d>0，a1>0时，这一数列必为单调递增数列

C．这一数列可以是周期数列

D．若这一数列的首项为1，伪公差为3，－可以是这一数列中的一项

答案　CD

解析　A项，当a1＝，d＝－，an>0时，

依题意，an＝，故错误；

B项，当d>0，a1>0时，∵an＋1＝±，

∴这一数列不是单调递增数列，故错误；

C项，易知当伪公差d＝0，an＝1时，这一数列是周期数列，故正确；

D项，∵a1＝1，d＝3，

∴a2＝±＝±2，

∴当a2＝2时，a3＝±＝±，故正确．

16．已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

(1)求d及Sn；

(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

解　(1)由题意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，

解得d＝2或d＝－5(舍去)．

所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2.

(2)由(1)知，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，

所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65，

由m，k∈N*知，2m＋k－1>k＋1>1，故所以