高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第4章 微专题1　数列求和(含解析)

微专题1　数列求和

数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等．

一、公式法求和

例1　求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．

解　所求数列的前n项中共有1＋2＋3＋4＋…＋n＝个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2，故该数列的前n项和

Sn＝×1＋×××2

＝＋

＝2

＝.

反思感悟　公式法求和中的常用公式有

(1)等差、等比数列的前n项和

①等差数列：Sn＝na1＋d(d为公差)或Sn＝.

②等比数列：Sn＝其中q为公比．

(2)四类特殊数列的前n项和

①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．

②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．

④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.

二、分组转化法求和

例2　求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．

解　当x≠±1时，

Sn＝2＋2＋…＋2

＝＋＋…＋

＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋

＝＋＋2n

＝＋2n；

当x＝±1时，Sn＝4n.

综上可知，

Sn＝

反思感悟　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．

三、倒序相加法求和

例3　设F(x)＝，求F＋F＋…＋F.

解　∵F(x)＋F(1－x)＝＋＝1，

∴F＋F＝F＋F＝…＝1.

设F＋F＋…＋F＝S，

∴S＝×2S＝×2 020＝1 010.

反思感悟　(1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)．

(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．

四、裂项相消法求和

例4　求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.

解　∵＝＝，

∴原式＝＝

＝－(n≥2，n∈N*)．

延伸探究

求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.

解　∵＝＝1＋，

∴原式＝＋＋＋…＋

＝(n－1)＋

以下同例4解法．

∴原式＝ n－－(n≥2，n∈N*)

反思感悟　(1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．

(2)常见的拆项公式有

①＝－.

②＝.

③＝.

④＝－.

⑤＝.

五、错位相减法求和

例5　已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.

解　(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，等差数列{bn}的公差为d，

依题意有

即解得或(舍去)．

所以an＝2n－1，n∈N*，bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N*.

(2)由(1)得cn＝＝，

所以Tn＝＋＋…＋，①

所以Tn＝＋＋…＋＋，②

由①－②，得Tn＝3＋2－＝3＋2×－＝5－，

所以Tn＝10－.

反思感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

六、并项求和法求和

例6　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．

解　当n为奇数时，

Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)

＝2·＋(－2n＋1)＝－n.

当n为偶数时，

Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.

∴Sn＝(－1)n·n (n∈N*)．

反思感悟　通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．