高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第5章 §5.1 第1课时　变化率问题和导数的概念(含解析)

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§5.1　导数的概念及其意义第1课时　变化率问题和导数的概念学习目标　1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一　瞬时速度瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).知识点二　函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．知识点三　函数在某点处的导数如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　×　)2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　×　)3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　√　)4．设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝ eq \f(fx－fx0,x－x0).(　√　)一、函数的平均变化率例1　(1)函数y＝eq \f(1,x)从x＝1到x＝2的平均变化率为(　　)A．－1 B．－eq \f(1,2) C．－2 D．2答案　B解析　平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(1,2)－1,2－1)＝－eq \f(1,2).(2)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则eq \f(Δy,Δx)的值为(　　)A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29答案　B解析　∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－0.11,0.1)＝－1.1.(3)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq \x\to(v)1，eq \x\to(v)2，eq \x\to(v)3，则三者的大小关系为__________________．答案　eq \x\to(v)1