高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第5章 再练一课(范围：§5.1～§5.2)(含解析)

再练一课(范围：§5.1～§5.2)

1．(多选)自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是(　　)

A．从x0到x1的平均变化率

B．在x＝x1处的变化率

C．点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率

D．在区间[x0，x1]上的导数

答案　AC

解析　＝表示函数从x0到x1的平均变化率，也表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率．

2．已知物体的运动方程为s＝t2＋，则物体在t＝2时的瞬时速度为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.

3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)

A．4  B．－  C．2  D．－

答案　A

解析　∵f′(x)＝g′(x)＋2x，

∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.

4．对于函数f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，则实数k等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　A

解析　因为f′(x)＝＋＋，

所以f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝，故选A.

5．若曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为(　　)

A．1  B．e  C．－  D.

答案　D

解析　设M(x0，ln x0)，

由y＝ln x得y′＝(x>0)，

所以切线斜率为k＝

所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．

由题意得0－ln x0＝(0－x0)，

即ln x0＝1，所以x0＝e.

所以k＝＝，故选D.

6．已知f(x)＝＋4x，则f′(1)＝________.

答案　2

解析　因为f(x)＝＋4x，

所以f′(x)＝－＋4，

所以f′(1)＝－＋4，即f′(1)＝2.

7.若某物体做运动方程为s＝(1－t)2(位移单位：m，时间单位：s)的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度v为________ m/s.

答案　0.4

解析　∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，

∴v＝s′|t＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．

8．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则a＝________，切点的横坐标为________．

答案　1　ln 2

解析　由题意可得，f′(x)＝ex－是奇函数，∴f′(0)＝1－a＝0，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋，f′(x)＝ex－.∵曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，∴＝ex－，可得ex＝2(舍负)，∴x＝ln 2.

9．求下列函数的导数：

(1)f(x)＝x3－x4＋6；

(2)f(x)＝(5x－4)cos x；

(3)f(x)＝.

解　(1)f′(x)＝′＝x2－2x3.

(2)f′(x)＝[(5x－4)cos x]′＝5cos x－5xsin x＋4sin x.

(3)f′(x)＝＝.

10．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．

解　∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，∴f(0)＝1，

又f′(x)＝2ax－2＋，∴f′(0)＝－1，

∴切点P的坐标为(0,1)，切线l的斜率为－1，

∴切线l的方程为x＋y－1＝0.

11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x有f(x)≥0，则的最小值为(　　)

A．3  B.  C．2  D.

答案　C

解析　f′(0)＝b>0.对于任意实数x有f(x)≥0，故则2≥b，因此＝＋1≥2.当且仅当a＝c＝时，取等号．

12．若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(1)等于(　　)

A．24  B．－24  C．10  D．－10

答案　A

解析　∵f′(x)＝(x－1)′·(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′·(x－1)，∴f′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＝24.故选A.

13．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值为(　　)

A．4   B．2

C．2   D.

答案　D

解析　函数的导数为f′(x)＝－eax·a，

所以f′(0)＝－e0·a＝－，

即在x＝0处的切线斜率k＝－，

又f(0)＝－e0＝－，

所以切点坐标为，

所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.

圆心到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝1，

即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0<ab≤.

又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，

所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，

即0<a＋b≤，

当且仅当a＝b＝时等号成立，

所以a＋b的最大值是，故选D.

14．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．

答案　

解析　令y′＝2x－＝1，解得x＝1，

故当点P坐标为(1,1)时，它到已知直线的距离最小，最小距离为d＝＝.

15．曲线y＝e2xcos  3x在点(0,1)处的切线与过点(2,3)的直线l垂直，则直线l的方程为________________．

答案　x＋2y－8＝0

解析　由题意知y′＝(e2x)′cos  3x＋e2x(cos  3x)′

＝2e2xcos  3x＋3(－sin 3x)·e2x

＝2e2xcos  3x－3e2xsin 3x，

所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.

所以直线l的斜率为－，直线l的方程为y－3＝－·(x－2)，即x＋2y－8＝0.

16．已知函数f(x)＝x3－3x及曲线y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.

(1)若直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，求直线l的方程；

(2)若直线l与曲线y＝f(x)相切，且切点异于点P，求直线l的方程．

解　(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3.

过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，故所求直线l的方程为y＝－2.

(2)设过点P(1，－2)的直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，x－3x0)．由f′(x0)＝3x－3，

得直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．

又直线l过点P(1，－2)，

所以－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，

即(x0－1)2(x0＋2)＝3(x－1)(x0－1)，

解得x0＝1(舍去)或x0＝－，

故直线l的斜率k＝－，

故直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，

即9x＋4y－1＝0.