艺术生高考数学专题讲义：考点11 函数与方程

考点十一  函数与方程

知识梳理

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．

(2)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

2．函数零点存在性定理

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

4．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

5．二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0；

第二步，求区间(a，b)的中点x1；

第三步，计算f(x1)；

①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；

②若f(x1)f(a)<0，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))；

③若f(x1)f(a)>0，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))；

第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步．

典例剖析

题型一  函数零点的判断和求解

例1　函数f(x)＝－＋4x－4在区间［1，3］上有        零点.

答案  一个

解析  因为f(x)＝－＋4x－4=，所以函数f(x)＝－＋4x－4在区间［1，3］上有一个零点2.

变式训练  函数有零点的区间是        ．

答案　(2，3)

解析　

.

解题要点  判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．

题型二  零点个数问题

例2　已知函数f(x)＝ln(x＋1)－，试求函数的零点个数．

解析　令f(x)＝0，即ln(x＋1)＝，在同一坐标系中画出y＝ln(x＋1)和y＝的图象，可知两个图象有两个交点，

∴ f(x)有两个零点．

变式训练  函数的零点个数是        ．

答案　1个

解析　函数的零点，即方程的解，

研究函数与图象的交点，作出两个函数的图象如图，

可知有一个交点，故有一个零点.

解题要点  判断函数零点个数的三种方法:

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)•f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

题型三  参数范围问题

例3　(1)函数f (x)＝∣4x－x2∣－a的零点的个数为3，则a＝        ．

(2) 函数y＝－m有两个零点，则m的取值范围是________．

答案　(1) 4     (2) (0，1)

解析  (1)令函数f(x)=|x2－4x|－a=0，可得|x2－4x|=a．由于函数f(x)=|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y=|x2－4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，

如图所示：故a=4．故答案为 4．

(2) 在同一直角坐标系内，画出y1＝和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m<1.

变式训练  设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于________．

答案　1

解析  在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．

可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．

解题要点  数形结合是解决此类问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，从而借助图象来求出参数的范围．

题型四  用二分法求方程的近似解

例4　设，用二分法求方程在区间上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间__________．

答案　 

解析  因为根据零点存在定理知，方程的根落在区间内.

变式训练  用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．

答案　(0，0.5)，f(0.25)

解析  因为用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈(0，0.5)，第二次应计算中点值f(0.25)的函数值，然后依次进行判定．

当堂练习

1．(2015湖北文)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．

答案　2

解析　f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2.令f(x)＝0，则sin 2x＝x2，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2的图象的交点个数．作出函数图象知，

两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.

2．(2015湖南文)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

答案　(0,2)

解析　将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．

由f(x)＝|2x－2|－b＝0

得|2x－2|＝b.

在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．

则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．

3. 函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内________．(填序号)

①没有零点　　　　　　　 ②有且仅有一个零点

③有且仅有两个零点   ④有无穷多个零点

答案  ②

解析  在同一直角坐标系中分别作出函数y＝和y＝cosx的图象，如图，由于x>1时，y＝>1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选②项．

4．已知关于x的方程xln x＝ax＋1(a∈R)，下列说法正确的是________．(填序号)

①有两不等根          ②只有一正根          ③无实数根         ④不能确定

答案  ②

解析  由xln x＝ax＋1(a∈R)知x>0，∴ln x＝a＋，作出函数y1＝ln x与y2＝a＋的图象，

易知选②.

5．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是________．(填序号)

① (0,1)　　  　 ② (1,2)         ③ (2,3)　　　   ④ (3,4)

答案  ①

解析  f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，f(2)＝11>0，f(3)＝32>0，f(4)＝71>0，则f(0)·f(1)＝－2<0且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．

课后作业

一、    填空题

1．若函数f(x)＝bx＋2有一个零点为，则g(x)＝x2＋5x＋b的零点是________．

答案  1或－6

解析  ∵是函数f(x)的零点，

∴f()＝0，即b＋2＝0，解得b＝－6.

∴g(x)＝x2＋5x－6.

令g(x)＝0，即x2＋5x－6＝0，也就是(x－1)(x＋6)＝0，

解得x＝1或x＝－6.

∴函数g(x)有两个零点1、－6.

2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是________．

答案  (－1,0)

解析  ∵f′(x)＝2xln 2＋3>0，

∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．

而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，

f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，

∴f(－1)·f(0)<0.

故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．

3．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是________．

答案  (2,3)

解析  设f(x)＝log3x＋x－3，

则f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，

∴f(x)＝0在(2,3)有零点，又f(x)为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内．

4．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．

答案　2

解析　 (数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，

∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．

5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．

答案　{－2－，1,3}

解析　当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x) ＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；

当x<0时，由f(x)是奇函数，得－f(x) ＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3，得x＝－2－(正根舍去)．故选D.

6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上________．(填序号)

①有两个零点        ②有三个零点      ③仅有一个零点    ④无零点

答案　③

解析　由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)．

令f(x)＝0，得x＝－1,1.因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．

7．函数的零点为________．

答案 

解析  因为求解函数的零点，就是求解方程f(x)=0的解，而函数的零点．

8．函数f(x)＝－＋6x－9在区间［1，3］上有______个零点

答案  一个

解析  因为，所以函数在区间［1，3］上有一个零点3．

9．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.

答案  2

解析  由于f(1)＝－4<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝2＋ln 3>0，

又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以零点在区间(2,3)内，故n＝2.

10．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

答案　(0,1)

解析　画出f(x)＝的图象，如图．

由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0<m<1，即m∈(0,1)．

11．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．

答案  [，2]

解析  由于f(1)＝－1<0，f＝ln－<0，f(2)＝ln2>0，所以下一个含根区间为.

二、解答题

12．已知函数有4个零点，求实数的取值范围.

解析  由函数有4个零点有4个根，即有4个根．令如下图．

由图知在到3之间，所以实数的取值范围是 ．

13．函数f (x)＝|4x－x2|－a的零点的个数为3，求a的值。

解析  令函数f(x)=|x2－4x|－a=0，可得|x2－4x|=a．由于函数f(x)=|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y=|x2－4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，

如图所示：

故a=4．