艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形，共8页。试卷主要包含了正弦定理、余弦定理，三角形解的判断等内容，欢迎下载使用。
考点二十  正弦定理、余弦定理及解三角形知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin Acos A＝；cos B＝；cos C＝ 2.三角形面积公式：S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ；S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；S△ABC＝；S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．三角形解的判断在△ABC中，已知a、b和A时，三角形解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin A<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解  典例剖析题型一  利用正弦定理解三角形例1　在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝________.答案　解析  在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.变式训练  在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________．答案  2解析  在△ABC中，＝，∴  AC＝＝＝2.解题要点  如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理．题型二  利用余弦定理解题例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.答案　解析　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.变式训练  在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝        .答案　4或5解析　设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C得5＝25＋x2－2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.解题要点  如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理．题型三  综合利用正余弦定理解题例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b－2a)cos C＋ccos B＝0.(1)求C；(2)若c＝，b＝3a，求△ABC的面积．解析  (1)由已知及正弦定理得：(sin B－2sin A)cos C＋sin Ccos B＝0，sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos C，sin(B＋C)＝2sin Acos C，∴sin A＝2sin Acos C.又sin A≠0，得cos C＝.又C∈(0，π)，∴C＝.(2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，∴解得a＝1，b＝3.故△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝.变式训练  在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．解析  (1)由bsin A＝acos B及正弦定理＝，得sin B＝cos B.所以tan B＝，所以B＝.(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2.解题要点  解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．当堂练习1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.答案　 解析　由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6.①由余弦定理及C＝，可得a2＋b2－c2＝ab.②所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝absin＝×6×＝.2．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b＝2，B＝30°，C＝15°，则a等于________.答案  2解析  A＝180°－30°－15°＝135°，由正弦定理＝，得＝，即a＝2.3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________.答案  ＋1解析  A＝π－(B＋C)＝π－＝，由正弦定理得＝，则a＝＝＝＋，∴S△ABC＝absinC＝×2×(＋)×＝＋1.4．(2015重庆理)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.答案　解析　由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos 30°＝.5．(2015江苏)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值．解析　(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.(2)由正弦定理知，＝，所以sin C＝·sin A＝＝.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝＝＝.因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝.课后作业一、    填空题1． (2015广东文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b<c，则b等于________.答案　2解析　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.2．已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c＝________.答案　2或解析　∵＝，∴sinB＝＝·sin30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，C＝90°，∴c＝＝2.若B＝120°，C＝30°，∴a＝c＝.3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b等于________.答案  5解析  由题意知，23cos2A＋2cos2A－1＝0，即cos2A＝，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＝.在△ABC中，由余弦定理知72＝b2＋62－2b×6×，即b2－b－13＝0，即b＝5或b＝－(舍去).4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________.答案  直角三角形解析  ∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又∵sinA＞0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．5．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为________.答案  解析  ∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝.6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________.答案  2解析  由正弦定理＝得：＝，又∵B＝2A，∴＝＝，∴cosA＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴c＝ ＝2.7．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝________.答案  解析  在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝2＋9－2××3×＝5，即得AC＝.由正弦定理＝，即＝，所以sin∠BAC＝.8．(2014年江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.答案  解析  因为c2＝(a－b)2＋6，C＝，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为absinC＝3×＝.9．(2015福建文)在△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝________.答案　解析　∵A＝45°，C＝75°，∴B＝60°.由正弦定理＝.∴BC＝·sin A＝×＝.10． (2015重庆文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.答案　4解析　由3sin A＝2sin B，得3a＝2b，∴b＝a＝×2＝3，在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2×2×3×＝16，解得c＝4.11． (2015北京文)在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝________.答案　解析　由正弦定理得sin B＝＝＝，因为A为钝角，所以B＝.二、解答题12． (2015天津文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值．解析　(1)在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝.由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.由＝，得sin C＝.(2)cos＝cos 2A·cos －sin 2A·sin＝(2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝.13．(2015新课标Ⅰ文)(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．解析　(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝＝.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.所以△ABC的面积为××＝1.