艺术生高考数学专题讲义：考点21 不等关系与不等式

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点21 不等关系与不等式，共8页。试卷主要包含了不等式，同向不等式，实数比较大小的两大法则，不等式的基本性质，不等式的倒数性质，若a，b∈R，下列命题中，现给出三个不等式等内容，欢迎下载使用。
考点二十一 不等关系与不等式
知识梳理
1．不等式
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着形形色色的不等关系，它们都是客观存在的基本数量关系，是数学研究的重要内容．在数学中，我们用不等式表示不等关系．
不等式的定义：用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个实数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．
注意：“a≥b”是指“a＞b或a=b”，等价说法是“a不小于b”，对于“a≥b”而言，只要a＞b 和a=b中有一个成立，a≥b就成立，例如：3≥2,2≥2等都是真命题．同理，“a≤b”是指“a＜b或a=b”，等价说法是“a不大于b”，只要a＜b和a=b中只要有一个成立，a≤b就成立．
2．同向不等式
我们把a＞b和c＞d(或a＜b和c＜d)这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．
3．实数比较大小的两大法则：作差比较和作商比较法
关系
法则
作差比较
作商比较
a＞b
a－b＞0
＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0)
a＝b
a－b＝0
＝1(b≠0)
a＜b
a－b＜0
＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0)
注意：作商比较时要分清所研究变两个变量的正负，然后根据“若＞1，b＞0，则a＞b；若＞1，b＜0则a＜b)”的原则进行判断．
4．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
5．不等式的倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒＜.
(2)a＜0＜b⇒＜.
(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞.
注意：(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜c⇒a＜c；
(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a＞b⇒ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b⇒ac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
典例剖析
题型一 不等关系
例1　某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解析 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
则即
变式训练 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是__________．(填序号)
① 　② ③ ④
答案 ④
解析 ∵x不低于95分，∴ x≥95.
∵y是高于380分，∴y>380.
∵z超过45分．∴z>45.
解题要点 解题时关键是要弄懂“不超过”、“至少”、“不低于”、“超过”这些文字语言，它们与不等号的对应关系如下表：

文字语言
不超过，至多，小于等于
不低于，至少，大于等于
超过，大于，高于
少于，小于，低于
不等号
≤
≥
＞
＜
题型二 比较大小
例2　比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2) 与.
解析　(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－)2＋≥＞0，∴x2＋3＞3x.
(2) ∵－＝＝－ ≤0，
∴≤.
变式训练 已知x0，所以>，所以