艺术生高考数学专题讲义：考点59 推理与证明

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点59 推理与证明，共11页。试卷主要包含了推理，合情推理，演绎推理，归纳推理与类比推理的步骤，合情推理与演绎推理的区别，平面到空间中的常见类比，直接证明，间接证明等内容，欢迎下载使用。
考点五十九 推理与证明
知识梳理
1．推理
(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．
(2)分类：推理
2．合情推理
合情推理包括归纳推理和类比推理．
(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．
归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．
3．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
(3)模式：
三段论
4．归纳推理与类比推理的步骤
(1)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同特征；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．
(2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
5．合情推理与演绎推理的区别：
归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．
6．平面到空间中的常见类比
平面
空间
点
线
线
面
圆
球
三角形
三棱锥
正三角形
正四面体
角
二面角
面积
体积
周长
表面积
…
…

7．直接证明
直接证明有两种基本方法：综合法和分析法．
(1) 综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．
(2) 分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．
8．间接证明
间接证明的一种基本方法是反证法．
(1)反证法：
我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
(2)反证法的证题步骤是：
①反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)
②归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)
③立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
典例剖析
题型一 归纳推理
例1　观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第五个等式应为_________________________________．
答案　5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
解析　由于1＝12，
2＋3＋4＝9＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，
所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.
变式训练 （2015陕西文）观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…，
据此规律，第n个等式可为_______________________________．
答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
解析　等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.
解题要点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；
(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；
(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．
题型二 类比推理
例2　在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案 1∶8
解析 ＝＝·＝×＝.
变式训练 在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．
答案　＋＋＋＝1
解析　设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，
于是可以得出结论：＋＋＋＝1.
解题要点 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．
题型三 演绎推理
例3　如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
答案
解析 由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.
题型四 综合法和分析法的应用
例4　在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B＞，∴A＞－B，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，
∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
变式训练 设a、b、c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac＋logbc≥4lgc.
证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明＋≥4lgc，即≥4，因为ab＝10，故lga＋lgb＝1.只要证明≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0b，那么>”时，假设的内容应为______________．
答案 (1)见解析 (2)＝或