艺术生高考数学真题演练 专题07 平面解析几何（选择题、填空题）（教师版）

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专题07 平面解析几何（选择题、填空题）
1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.
【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40°
C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，
，
故选D．
【名师点睛】对于双曲线：，有；
对于椭圆，有，防止记混．
3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．
5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．

【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．
6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设点，则①．
又，②．
由①②得，即，
，
故选B．
【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设，由，再结合双曲线方程可解出，利用三角形面积公式可求出结果.
7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=
A． B．4
C．2 D．
【答案】D
【解析】∵双曲线的离心率，，
∴，解得，
故选D.
【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a，b，c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有，
∴，，，
∴.
故选D.
【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.
9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可得，因为，所以，即，
所以椭圆的离心率，故选C．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.
10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在中，，
设，
则，
又由椭圆定义可知，
则，故选D．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析，关键是寻找椭圆中a，c满足的关系式.
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.
11．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为(±c，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b，渐近线方程为；
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为(0，±c)，实轴长为2a，虚轴长为2b，渐近线方程为.
12．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，，则.
点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.
故点P到直线的距离的范围为，则.
故答案为A.
【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线的距离，得到点P到直线距离的范围，由面积公式计算即可.
13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，，所以双曲线的渐近线方程为，所以点到渐近线的距离，故选D．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.
熟记结论：若双曲线是等轴双曲线，则a=b，离心率e=，渐近线方程为y=±x，且两条渐近线互相垂直.
14．【2018年高考浙江卷】双曲线的焦点坐标是
A．(−，0)，(，0)
B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，−)，(0，)
D．(0，−2)，(0，2)
【答案】B
【解析】设的焦点坐标为，因为，，
所以焦点坐标为，故选B．
【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴，然后根据基本量之间的关系进行运算.
15．【2018年高考天津卷文数】已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，
由可得，
不妨设，，
双曲线的一条渐近线方程为，
据此可得，，
则，则，，
双曲线的离心率，据此可得，则双曲线的方程为．
故选A．
【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A，B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.
16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，故选D．
【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．
17．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；
当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，
故选A．
【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．
18．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，因为，所以，则，
故选C.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题知，与抛物线联立得，解得，
所以，因为，所以，因为，所以.
所以到直线的距离为.故选C.
【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.
20．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，
故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
21．【2017年高考天津卷文数】已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，解得，故双曲线方程为．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．解题时要注意，，之间满足的关系：，否则很容易出现错误．求解本题可先画出大致图形，根据题中所给的几何关系，结合双曲线的几何性质，得到，，满足的关系式，联立求解可得，，的值．
22．【2017年高考浙江卷】椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】椭圆的离心率，故选B．
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
23．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1，0），准线l的方程为x=−1，
以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x−1)2+y2=22，即为.
【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.
24．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
，∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
25．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
因为，所以.
因为，所以双曲线的渐近线方程为.
【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
26．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 ▲ .
【答案】4
【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小.
由，得，，即切点，
则切点Q到直线x+y=0的距离为，
故答案为．
【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
27．【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
【答案】，
【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.
【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
【答案】
【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，
由中位线定理可得，设，可得，
与方程联立，可解得（舍），
又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.

方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，
由中位线定理可得，即，
从而可求得，所以.
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.
29．【2018年高考全国I卷文数】直线与圆交于两点，则________．
【答案】
【解析】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，
根据点到直线的距离公式可以求得，
结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.
【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.
30．【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），
则，解得，则圆的方程为.
【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
31．【2018年高考浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】
【解析】设，，
由得，，
所以，
因为，在椭圆上，所以，，
所以，
所以，
与对应相减得，，
当且仅当时取最大值．
【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
32．【2018年高考北京卷文数】若双曲线的离心率为，则________________．
【答案】
【解析】在双曲线中，且，
所以，即，
因为，所以．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，考查考生的运求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解有关离心率的问题时，一般不直接求出c和a的值，而是根据题目给出的条件，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
33．【2018年高考北京卷文数】已知直线l过点（1，0）且垂直于?轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
【答案】
【解析】由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.

【名师点睛】此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.
34．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________________．
【答案】
【解析】因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，
因此，，．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.
熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.
35．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设，则由圆心为中点得
易得，与联立解得点的横坐标所以.
所以，
由得或，
因为，所以
【名师点睛】本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.
以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
36．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线（a>0）的一条渐近线方程为，则a= .
【答案】5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为，结合题意可得.
【名师点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：.
2.已知渐近线设双曲线的标准方程为.
3.双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.
37．【2017年高考北京卷文数】若双曲线的离心率为，则实数m=_________．
【答案】2
【解析】因为，所以，解得.
【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在轴时，哪些量表示，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.
38．【2017年高考天津卷文数】设抛物线的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若，则圆的方程为___________．
【答案】
【解析】由题可设圆心坐标为，则，焦点，，，解得，由于圆与轴得正半轴相切，则，所求圆的圆心为，半径为1，所求圆的方程为．
【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆、抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是，会不会用向量的数量积表示，根据图象，可设圆心为，那么方程就是，若能用向量的数量积表示角，即可求得，问题也就迎刃而解了．另外，本题也可通过解三角形求得，即，进而可得圆的方程．
39．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A，B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】由抛物线定义可得：，
因为，所以渐近线方程为.
【名师点睛】若AB是抛物线的焦点弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
40．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是_______________．
【答案】
【解析】右准线方程为，渐近线方程为，
设，则，，，
所以四边形的面积．
【名师点睛】（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线可设双曲线方程为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点．