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艺术生高考数学真题演练 专题12 数列-三年（教师版）
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这是一份艺术生高考数学真题演练 专题12 数列-三年（教师版），共26页。
专题12 数列
1．【2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
2．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则
A． 当 B． 当
C． 当 D． 当
【答案】A
【解析】①当b=0时，取a=0，则.
②当时，令，即.
则该方程，即必存在，使得，
则一定存在，使得对任意成立，
解方程，得，
当时，即时，总存在，使得，
故C、D两项均不正确.
③当时，，
则，
.
（ⅰ）当时，，
则，
，
，
则，
，
故A项正确.
（ⅱ）当时，令，则，
所以，以此类推，
所以，
故B项不正确.
故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
3．【2018年高考浙江卷】已知成等比数列，且．若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此.
若公比，则，不合题意；
若公比，则但，即，不合题意；
因此，，故选B.
【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
4．【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
【名师点睛】证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.
5．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D.
【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
6．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．
7．【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，即.
解得，
所以．
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算．
8．【2019年高考全国III卷文数】记为等差数列的前项和，若，则___________.
【答案】100
【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得
得
【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.
9．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是__________．
【答案】16
【解析】由题意可得：，
解得：，则.
【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.
10．【2018年高考江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为___________．
【答案】27
【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数列|中，25前面有16个正奇数，即.当n=1时，，不符合题意；当n=2时，，不符合题意；当n=3时，，不符合题意；当n=4时，，不符合题意；……；当n=26时，，不符合题意；当n=27时，,符合题意.故使得成立的n的最小值为27.
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
11．【2017年高考江苏卷】等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则___________．
【答案】32
【解析】当时，显然不符合题意；
当时，，解得，则．
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
12．【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公差为d．
由得．
由a3=4得．
于是．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，故.
由知，故等价于，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
13．【2019年高考全国II卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公比为q，由题设得
，即．
解得（舍去）或q=4．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，
因此数列的前n项和为．
【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.
14．【2019年高考北京卷文数】设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【答案】（1）；（2）当或者时，取到最小值.
【解析】（1）设的公差为．
因为，
所以．
因为成等比数列，
所以．
所以．
解得．
所以．
（2）由（1）知，．
所以，当时，；当时，．
所以，的最小值为．
【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
15．【2019年高考天津卷文数】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意，得解得
故.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（2）
.
记
则
②−①得，.
所以，
.
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
16．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）①bn=n；②5.
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
（2）①因为，所以．
由，得，则.
由，得，
当时，由，得，
整理得．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.
②由①知，bk=k，.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有．
设f（x）=，则．
令，得x=e.列表如下：
x
e
(e，+∞)
+
0
–
f（x）
极大值
因为，所以．
取，当k=1，2，3，4，5时，，即，
经检验知也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．
17．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得
，
解得．
从而．
所以，
由成等比数列得
．
解得．
所以．
（2）．
我们用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
（ii）假设时不等式成立，即．
那么，当时，
．
即当时不等式也成立．
根据（i）和（ii），不等式对任意成立．
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
18．【2018年高考全国I卷文数】已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【答案】（1）b1=1，b2=2，b3=4；（2）见解析；（3）an=n·2n-1．
【解析】（1）由条件可得an+1=．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得，即bn+1=2bn，
又b1=1，
所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得，
所以an=n·2n-1．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列bn的通项公式，借助于bn的通项公式求得数列an的通项公式，从而求得最后的结果.
19．【2018年高考全国III卷文数】等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．
由得，此方程没有正整数解．
若，则．
由得，解得．
综上，．
【名师点睛】等差、等比数列中的基本量的求解，可利用通项公式及前n项和公式建立（或q），五个基本量间的关系式，即“知三求二”.非等差、等比数列的求和常用三种方法：一是分组求和法，特征是原数列可以拆成几个等差或等比数列的和；二是裂项相消求和法，特征是通项是分式形式，如等差数列的的公差是d，则；三是错位（项）相减求和法，特征是通项可以看成一个等差数列与一个等比数列对应项的积（或商）.
20．【2018年高考全国II卷文数】记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n项和公式得关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
21．【2018年高考北京卷文数】设是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
∵，
∴，
又，
∴.
∴.
（2）由（1）知，
∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴.
∴.
【名师点睛】等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
22．【2018年高考天津卷文数】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（1）求Sn和Tn；
（2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
【答案】（1），；（2）4.
【解析】（1）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．
因为，可得，故．
所以，．
设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，
所以，．
（2）由（1），有
由可得，
整理得解得（舍），或．
所以n的值为4．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．
23．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
（1）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（2）设，数列前n项和为.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
24．【2018年高考江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，
当x>0时，，
所以单调递减，从而
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
25．【2017年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解析】（1）设的公比为．
由题设可得解得，．
故的通项公式为．
（2）由（1）可得．
由于，
故，，成等差数列．
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；
（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．
26．【2017年高考全国II卷文数】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）bn=2n-1；（2）当q=-5时， S3=21.当q=4时， S3=-6.
【解析】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an=-1+（n-1）d， bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
（1）由a3+b3=5得2d+q2=6.②
联立①和②解得d=3，q=0（舍去），d=1，q=2.
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
（2）由b1=1，T3=21得q2+q-20=0.
解得q=-5，q=4.
当q=-5时，由①得d=8，则S3=21.
当q=4时，由①得d=-1，则S3=-6.
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；
（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和.
27．【2017年高考全国III卷文数】设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为a1+3a2+…+（2n−1）an =2n，
故当n≥2时，a1+3a2+…+（2n−3）an-1 =2（n−1）.
两式相减得（2n−1）an=2，
所以an=22n-1 (n≥2).
又由题设可得a1=2，
从而{an}的通项公式为an=22n-1.
（2）记{an2n+1}的前n项和为Sn ，
由（1）知 an2n+1 = 2(2n+1)(2n-1) = 12n-1 −12n+1 .
则 Sn = 11 − 13 + 13 − 15 +…+ 12n-1 − 12n+1 = 2n2n+1 .
【思路点拨】（1）先由题意得时，，再作差得，验证时也满足；
（2）由于，所以利用裂项相消法求和.
【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如或.
28．【2017年高考北京卷文数】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（1）求的通项公式；
（2）求和：．
【答案】（1）an=2n−1；（2）.
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d．
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2，所以an=2n−1．
（2）设等比数列{bn}的公比为q．
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3，所以．
从而．
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于，等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．
29．【2017年高考山东卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前n项和Sn，已知，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设的公比为，
由题意知．
又，解得，所以．
（2）由题意知：，
又所以，
令,则，
因此
又，
两式相减得，
所以．
【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
30．【2017年高考天津卷文数】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由已知，得，
而，所以．
又因为，解得，所以．
由，可得；
由，可得，
联立①②，解得，由此可得．
所以，的通项公式为，的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，由，有
，
，
上述两式相减，得
，得．
所以，数列的前项和为．
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．
31．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为是等差数列，设其公差为，
则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”．
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，
因此，当时，，①
当时，．②
由①知，，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为．
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
【名师点睛】（1）利用等差数列性质得，即得，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得，，再将条件集中消元：，，即得，最后验证起始项也满足即可．
32．【2017年高考浙江卷】已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．
证明：当时，
（1）0＜xn+1＜xn；
（2）2xn+1− xn≤；
（3）≤xn≤．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）用数学归纳法证明：．
当n=1时，x1=1>0．
假设n=k时，xk>0，
那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．
因此．
所以
，
因此．
（2）由得，
．
记函数，
，
函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，因此
，
故
．
（3）因为
，
所以
，
由，得
，
所以
，
故
．
综上，
．
【名师点睛】本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．
专题12 数列
1．【2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
2．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则
A． 当 B． 当
C． 当 D． 当
【答案】A
【解析】①当b=0时，取a=0，则.
②当时，令，即.
则该方程，即必存在，使得，
则一定存在，使得对任意成立，
解方程，得，
当时，即时，总存在，使得，
故C、D两项均不正确.
③当时，，
则，
.
（ⅰ）当时，，
则，
，
，
则，
，
故A项正确.
（ⅱ）当时，令，则，
所以，以此类推，
所以，
故B项不正确.
故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
3．【2018年高考浙江卷】已知成等比数列，且．若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此.
若公比，则，不合题意；
若公比，则但，即，不合题意；
因此，，故选B.
【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
4．【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
【名师点睛】证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.
5．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D.
【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
6．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．
7．【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，即.
解得，
所以．
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算．
8．【2019年高考全国III卷文数】记为等差数列的前项和，若，则___________.
【答案】100
【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得
得
【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.
9．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是__________．
【答案】16
【解析】由题意可得：，
解得：，则.
【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.
10．【2018年高考江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为___________．
【答案】27
【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数列|中，25前面有16个正奇数，即.当n=1时，，不符合题意；当n=2时，，不符合题意；当n=3时，，不符合题意；当n=4时，，不符合题意；……；当n=26时，，不符合题意；当n=27时，,符合题意.故使得成立的n的最小值为27.
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
11．【2017年高考江苏卷】等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则___________．
【答案】32
【解析】当时，显然不符合题意；
当时，，解得，则．
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
12．【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公差为d．
由得．
由a3=4得．
于是．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，故.
由知，故等价于，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
13．【2019年高考全国II卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公比为q，由题设得
，即．
解得（舍去）或q=4．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，
因此数列的前n项和为．
【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.
14．【2019年高考北京卷文数】设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【答案】（1）；（2）当或者时，取到最小值.
【解析】（1）设的公差为．
因为，
所以．
因为成等比数列，
所以．
所以．
解得．
所以．
（2）由（1）知，．
所以，当时，；当时，．
所以，的最小值为．
【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
15．【2019年高考天津卷文数】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意，得解得
故.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（2）
.
记
则
②−①得，.
所以，
.
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
16．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）①bn=n；②5.
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
（2）①因为，所以．
由，得，则.
由，得，
当时，由，得，
整理得．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.
②由①知，bk=k，.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有．
设f（x）=，则．
令，得x=e.列表如下：
x
e
(e，+∞)
+
0
–
f（x）
极大值
因为，所以．
取，当k=1，2，3，4，5时，，即，
经检验知也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．
17．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得
，
解得．
从而．
所以，
由成等比数列得
．
解得．
所以．
（2）．
我们用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
（ii）假设时不等式成立，即．
那么，当时，
．
即当时不等式也成立．
根据（i）和（ii），不等式对任意成立．
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
18．【2018年高考全国I卷文数】已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【答案】（1）b1=1，b2=2，b3=4；（2）见解析；（3）an=n·2n-1．
【解析】（1）由条件可得an+1=．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得，即bn+1=2bn，
又b1=1，
所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得，
所以an=n·2n-1．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列bn的通项公式，借助于bn的通项公式求得数列an的通项公式，从而求得最后的结果.
19．【2018年高考全国III卷文数】等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．
由得，此方程没有正整数解．
若，则．
由得，解得．
综上，．
【名师点睛】等差、等比数列中的基本量的求解，可利用通项公式及前n项和公式建立（或q），五个基本量间的关系式，即“知三求二”.非等差、等比数列的求和常用三种方法：一是分组求和法，特征是原数列可以拆成几个等差或等比数列的和；二是裂项相消求和法，特征是通项是分式形式，如等差数列的的公差是d，则；三是错位（项）相减求和法，特征是通项可以看成一个等差数列与一个等比数列对应项的积（或商）.
20．【2018年高考全国II卷文数】记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n项和公式得关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
21．【2018年高考北京卷文数】设是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
∵，
∴，
又，
∴.
∴.
（2）由（1）知，
∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴.
∴.
【名师点睛】等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
22．【2018年高考天津卷文数】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（1）求Sn和Tn；
（2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
【答案】（1），；（2）4.
【解析】（1）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．
因为，可得，故．
所以，．
设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，
所以，．
（2）由（1），有
由可得，
整理得解得（舍），或．
所以n的值为4．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．
23．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
（1）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（2）设，数列前n项和为.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
24．【2018年高考江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，
当x>0时，，
所以单调递减，从而
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
25．【2017年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解析】（1）设的公比为．
由题设可得解得，．
故的通项公式为．
（2）由（1）可得．
由于，
故，，成等差数列．
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；
（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．
26．【2017年高考全国II卷文数】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）bn=2n-1；（2）当q=-5时， S3=21.当q=4时， S3=-6.
【解析】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an=-1+（n-1）d， bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
（1）由a3+b3=5得2d+q2=6.②
联立①和②解得d=3，q=0（舍去），d=1，q=2.
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
（2）由b1=1，T3=21得q2+q-20=0.
解得q=-5，q=4.
当q=-5时，由①得d=8，则S3=21.
当q=4时，由①得d=-1，则S3=-6.
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；
（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和.
27．【2017年高考全国III卷文数】设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为a1+3a2+…+（2n−1）an =2n，
故当n≥2时，a1+3a2+…+（2n−3）an-1 =2（n−1）.
两式相减得（2n−1）an=2，
所以an=22n-1 (n≥2).
又由题设可得a1=2，
从而{an}的通项公式为an=22n-1.
（2）记{an2n+1}的前n项和为Sn ，
由（1）知 an2n+1 = 2(2n+1)(2n-1) = 12n-1 −12n+1 .
则 Sn = 11 − 13 + 13 − 15 +…+ 12n-1 − 12n+1 = 2n2n+1 .
【思路点拨】（1）先由题意得时，，再作差得，验证时也满足；
（2）由于，所以利用裂项相消法求和.
【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如或.
28．【2017年高考北京卷文数】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（1）求的通项公式；
（2）求和：．
【答案】（1）an=2n−1；（2）.
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d．
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2，所以an=2n−1．
（2）设等比数列{bn}的公比为q．
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3，所以．
从而．
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于，等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．
29．【2017年高考山东卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前n项和Sn，已知，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设的公比为，
由题意知．
又，解得，所以．
（2）由题意知：，
又所以，
令,则，
因此
又，
两式相减得，
所以．
【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
30．【2017年高考天津卷文数】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由已知，得，
而，所以．
又因为，解得，所以．
由，可得；
由，可得，
联立①②，解得，由此可得．
所以，的通项公式为，的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，由，有
，
，
上述两式相减，得
，得．
所以，数列的前项和为．
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．
31．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为是等差数列，设其公差为，
则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”．
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，
因此，当时，，①
当时，．②
由①知，，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为．
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
【名师点睛】（1）利用等差数列性质得，即得，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得，，再将条件集中消元：，，即得，最后验证起始项也满足即可．
32．【2017年高考浙江卷】已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．
证明：当时，
（1）0＜xn+1＜xn；
（2）2xn+1− xn≤；
（3）≤xn≤．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）用数学归纳法证明：．
当n=1时，x1=1>0．
假设n=k时，xk>0，
那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．
因此．
所以
，
因此．
（2）由得，
．
记函数，
，
函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，因此
，
故
．
（3）因为
，
所以
，
由，得
，
所以
，
故
．
综上，
．
【名师点睛】本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．
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