艺术生高考数学真题演练 专题13 不等式、推理与证明（教师版）

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专题13 不等式、推理与证明
1．【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
【答案】B
【解析】方法一：如下图所示.
依题意可知：
，
腿长为105 cm得，即，
，
，
所以AD>169.89.
②头顶至脖子下端长度为26 cm，
即AB2，求解绝对值不等式x>2可得x>2或x8”是“|x|>2” 的充分而不必要条件.故选A.
【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．【2018年高考天津卷文数】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A．6 B．19
C．21 D．45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程得，可得点A的坐标为，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.

【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
11．【2017年高考天津卷文数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，可得，由，可得，即，
因为，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B．
【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若，那么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，若，那么是的充要条件，若，那那么是的既不充分也不必要条件；②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若，，若是的真子集，那么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，若，那么是的充要条件，若没有包含关系，那么是的既不充分也不必要条件；③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“是”的关系转化为“是”的关系进行判断．
12．【2017年高考天津卷文数】已知奇函数在上是增函数．若，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，且，，所以，
结合函数的单调性，可得，即，即．故选C．
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．
13．【2017年高考全国I卷文数】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．

【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．
14．【2017年高考浙江卷】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4]
C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．

【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
15．【2017年高考全国II卷文数】设满足约束条件则的最小值是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值，最小值为．故选A.

【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
16．【2017年高考全国II卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩．故选D．
【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
17．【2017年高考北京卷文数】若满足则的最大值为
A．1 B．3
C．5 D．9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，

表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.
18．【2017年高考山东卷文数】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】D
【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线,可知当其经过直线与的交点时,取得最大值，为,故选D.

【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.
(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．
19．【2017年高考山东卷文数】已知命题p：;命题q：若,则a0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a+2-3b≥2×2a×2-3b=2×2-6=14.当且仅当2a=2-3ba-3b=6，即a=3b=-1时等号成立.
综上可得2a+18b的最小值为14.
【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：
①，当且仅当时取等号；
②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．
31．【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．
【答案】9
【解析】由题意可知，S△ABC=S△ABD+S△BCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin60°，化简得ac=a+c,1a+1c=1，
因此4a+c=4a+c1a+1c=5+ca+4ac≥5+2ca⋅4ac=9,
当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.
【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.
32．【2017年高考上海卷】不等式的解集为________
【答案】
【解析】 由题意，不等式，得，
所以不等式的解集为.
【名师点睛】本题考查解不等式，能正确化简不等式是解决该题的关键.
33．【2017年高考北京卷文数】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___________.
【答案】−1，−2，−3（答案不唯一）
【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．
34．【2017年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_________．
②该小组人数的最小值为_________．
【答案】6 12
【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为，
则.
①，
②
【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.
35．【2017年高考天津卷文数】若，，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）．
【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．
36．【2017年高考山东卷文数】若直线过点,则2a+b的最小值为___________．
【答案】
【解析】由直线 过点可得,
所以.当且仅当，即时等号成立.
【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．
37．【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．
【答案】30
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
38．【2017年高考天津卷文数】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（Ⅰ）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
【答案】（I）见解析；（II）见解析.
【解析】（Ⅰ）由已知，满足的数学关系式为，即．
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点（包括边界）：

（图1） （图2）
（Ⅱ）设总收视人次为万，则目标函数为．
考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线．
为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大．
又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大．
解方程组得点M的坐标为，
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义求最值．求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的几何意义．常见的目标函数有：①截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；②距离型：形如；③斜率型：形如．本题属于截距型，同时应注意实际问题中的最优解一般是整数．