艺术生高考数学专题讲义：考点5 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性

考点五  函数的性质——单调性、奇偶性、周期性

知识梳理

1．函数的单调性

(1) 单调函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．

从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：

（2）单调性与单调区间

如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．

2．函数的奇偶性

(1) 奇函数、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法

判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：

①考察定义域是否关于原点对称．

②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：

若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；

若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；

若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；

若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．

3．函数的周期性

(1) 周期函数的概念：对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数，非零常数T叫做函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

(3)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期，即有f(x＋nT)＝f(x)．

(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对x而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f(x)＝C（C为常数）就没有最小正周期．

典例剖析

题型一  函数单调性的判断

例1　下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________. (填序号)

①     y＝  ② y＝(x－1)2  ③ y＝2－x  ④ y＝log0.5(x＋1)

答案  ①

解析  由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.

变式训练  下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是________. (填序号)

① f(x)＝x　　　② f(x)＝x3        ③ f(x)＝        ④ f(x)＝3x

答案  ④

解析　f(x)＝x，f(x＋y)＝(x＋y)≠x·y，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，①不满足题意．

f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不满足题意．

f(x)＝，f(x＋y)＝＝·，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝不是增函数，③不满足题意．

f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3x是增函数，④满足题意．

解题要点  确定函数单调性的常用方法：

(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．

(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．

(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．

(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．

题型二  函数单调性的应用

例2　如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________.

答案　－≤a≤0

解析  当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，

因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.

综合上述得－≤a≤0.

变式训练  函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.

答案　6

解析  易知f(x)在[a，b]上为减函数，

∴即∴∴a＋b＝6.

解题要点  1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．

2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．

题型三  求函数的单调区间

例3　求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．

解析  令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．

令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.

∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．

又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，

∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．

而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，

∴y＝log(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．

解题要点  1.求单调区间的常用方法：

(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．

2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：

(1)确定定义域；

(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；

(3)分别确定这两个函数的单调区间；

(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．

3．求单调区间时需注意两点：①最终结果写成区间的形式；②不可忽视定义域．

题型四  判断函数的奇偶性

例4　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3－x；

(2)f(x)＝(x＋1) ；

(3) f(x)＝＋.

解析  (1) 定义域为R，关于原点对称，

又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)，

∴函数为奇函数．

(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．

∵函数定义域不关于原点对称，

∴函数为非奇非偶函数．

(3) 因为f(x)定义域为{－，}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．

解题要点  判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；

2.判断f(－x)与f(x)关系. 若f(－x)＝－f(x) 则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)则函数为偶函数．

或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)＋f(－x)＝0则函数为奇函数；

若f(x)－f(－x)＝0则函数为偶函数．

题型五  函数的周期性

例5　已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.

答案　2.5

解析　由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．

故函数的周期为4.

∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．

∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.

∴f(105.5)＝2.5.

解题要点  关于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.

题型六  函数性质的综合运用

例6　已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是________．

答案　　

解析　偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，

有f(2x－1)<f⇔f(|2x－1|)<f，

进而转化为不等式|2x－1|<，

解这个不等式即得x的取值范围是.

当堂练习

1. 函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.

答案  原点

解析  由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．

2．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．

答案  0

解析  ∵ f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，∴ f(0)＝0，T＝4，∴ f(8)＝f(0)＝0.

3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．

答案　1　

解析  因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.

4．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是________．

答案　(－∞，－2)

解析　因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．

5．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．

答案  [－1，1)

解析  由条件解得－1≤a<1.

课后作业

一、    填空题

1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为________．(填序号)

①y＝x＋1     ②y＝－x2        ③  y＝       ④  y＝x|x|

答案 ④

2．函数y＝1－________．(填序号)

①在(－1，＋∞)上单调递增      ②在(－1，＋∞)上单调递减

③在(1，＋∞)上单调递增        ④在(1，＋∞)上单调递减

答案 ③

3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是________．(填序号)

①y＝1－x2      ②y＝x2＋x   ③y＝－     ④y＝

答案　④

4．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是________．(填序号)

①f(x)＝      ②f(x)＝(x－1)2       ③f(x)＝ex       ④f(x)＝ln(x＋1)

答案　①

解析　满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选①.

5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．

答案  3

解析  ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，又g(x)为偶函数，∴g(－1)＝g(1)，∴－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，将两式相加得2g(1)＝6，∴g(1)＝3.

6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．(填序号)

①y＝x3       ②y＝|x|＋1       ③y＝－x2＋1     ④y＝2－|x|

答案  ②

7．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

答案 

解析  由题意得－≥2，得a≤－.

8．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则f(－1)与f(3)的大小关系是________．

答案  f(－1)＜f(3)

解析  依题意得f(3)＝f(1)，且－1＜1＜2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1)＜f(1)＝f(3)．

9．函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．

答案  [2,4]

10．设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________.

答案  －1

解析  由题知，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.

11．给出下列命题

①y＝在定义域内为减函数；        ②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；

③y＝－在(－∞，0)上为增函数；    ④y＝kx不是增函数就是减函数．

其中错误命题的个数有________．

答案　3

解析　①②④错误，其中④中若k＝0，则命题不成立．

二、解答题

12．证明函数g(x)＝在(1，＋∞)上单调递增．

证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

则g(x1)－g(x2)＝－＝，

因为1<x1<x2，所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0，

因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)．

故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

13．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．

解　∵f(x)的定义域为[－2,2]．

∴有解得－1≤m≤.①

又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，

∴f(x)在[－2,2]上递减，

∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，

即－2<m<1.②

综合①②可知，－1≤m<1.

即实数m的取值范围是[－1,1)．