艺术生高考数学专题讲义：考点16 同角三角函数的关系式及诱导公式

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点16 同角三角函数的关系式及诱导公式，共7页。试卷主要包含了同角三角函数的基本关系等内容，欢迎下载使用。
考点十六  同角三角函数的关系式及诱导公式知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α.2.诱导公式      角函数2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α  口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限 统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．典例剖析题型一  同角三角函数关系应用例1　已知α是第二象限角，tan α＝－，则sin α＝________．答案  解析  由解得sin α＝±.∵ α为第二象限角，∴  sin α>0，∴  sinα＝.变式训练  已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.答案  －解析  ∵α∈，∴cos α ＝－＝－，∴tan α＝ ＝－.例2　(1)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________.(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝        .答案  (1)     (2)解析  (1)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝＝＝＝.(2)sin θcos θ＝＝＝＝.解题要点  (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)应熟练掌握齐次式问题求值，通过代数式变形，把所求值化为关于tan θ的齐次式，从而使问题得解.题型二  sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α “三姊妹”问题例3　已知sin α＋cos α＝，且α∈；求(1)sin α·cos α；(2)sin α－cos α；(3)tan α.解析　(1)因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝()2，即2sin α·cos α＝－，所以sin α·cos α＝－.(2) 由sin α·cos α＝－可得(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1＋＝，又2sin α·cos α＝－<0,0<α<π，所以sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，故sin α－cos α＝＝，(3)由得所以tan α＝－.变式训练  已知sin θ＋cos θ＝(0＜θ＜π)，求tan θ的值．解析　将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－，∴＜θ＜π，∴sin θ－cos θ＝＝＝.解方程组得∴tan θ＝＝.解题要点  对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，基本解题策略是借助方程思想，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．题型三  三角函数诱导公式的应用例4　(1) cos＝________．(2) 已知cos＝，求cos＝________． 答案　 (1)－  (2) －解析　(1) cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.(2) ∵＋＝π，∴－α＝π－.∴cos＝cos＝－cos＝－，即cos＝－.变式训练  化简：.解析　原式＝＝＝＝－1.解题要点  (1) 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2kπ＋α(k∈Z)，0≤α＜2π；② 转化为锐角．(2)要善于观察角度间的关系，注意“整体思想”的运用，适当将角变形，如化π＋α为π＋或2π－．(3)注意确定相应三角函数值的符号，另外切化弦是常用的规律技巧．当堂练习1．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝________．答案  －解析  ∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－＝－.2．若cosα＝，α∈(－，0)，则tanα等于________．答案  解析  由已知得sinα＝－＝－＝－，∴tanα＝＝－2.3. 已知α是第四象限角，tan(π－α)＝，则sinα等于________．答案  －解析  由诱导公式可得：tan(π－α)＝－tanα，∴tanα＝－，∴＝－，又∵sin2＋cos2α＝1，α是第四象限角，∴sinα＝－.4．若tanα＝3，则的值等于________．答案  6解析  ＝＝＝2tanα＝6.5．已知sin 2α＝－，α∈，则sin α＋cosα等于________．答案  解析  (sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，又α∈，sinα＋cosα>0，所以sinα＋cosα＝.课后作业一、    填空题1． tan150°的值为________．答案  －解析  tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－.2．已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝________．答案  －解析  由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－.3．已知cos α＝－，角α是第二象限角，则tan(2π－α)等于________．答案  解析  ∵cos α＝－，α是第二象限角，∴sin α＝＝，∴tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4．α是第一象限角，tanα＝，则sinα＝________．答案  解析  tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sinα＝.5．若cosα＝，α∈，则tanα等于________．答案 －2解析  由已知得sinα＝－＝－＝－，∴tanα＝＝－2.6．若＝，则tan2α等于________．答案 解析  ∵＝＝，∴tanα＝－3.∴tan2α＝＝.7．已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ的值为________．答案  －解析  ∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝，又0<θ<，∴sinθ<cosθ，∴sinθ－cosθ＝－＝－＝－.8．已知tanθ＝2，则＝________．答案  －2解析  ＝＝＝＝＝－2.9．如果sin(π＋A)＝，那么cos(π－A)的值是________．答案  解析  ∵sin(π＋A)＝，∴－sinA＝.∴cos(π－A)＝－sinA＝.10．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝__________.答案  －解析  ∵sinθ<0，tanθ>0，∴θ为第三象限角，∴cosθ＝－＝－.11．设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝________.答案  －解析  tan(θ＋)＝＝，解得tanθ＝－，又θ位于第二象限得sinθ＝，cosθ＝－，所以sinθ＋cosθ＝－.二、解答题12． 若tanα＋＝3，计算下列各式的值：(1) sinαcosα;(2) tan2α＋.解析  (1)∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3.∴sinαcosα＝.(2) tan2α＋＝2－2tanα·＝9－2＝7.13．已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，求tanθ的值．解析  由sinθ＋cosθ＝，两边平方得sinθ·cosθ＝－，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1＋＝＝2.∵θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝(－1)<1，∴θ∈，∴sinθ－cosθ>0，∴sinθ－cosθ＝.由得sinθ＝，cosθ＝－.∴tanθ＝－.